Taivaallinen kellokoneisto

Taivaanmekaniikka on oppi, joka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä vetovoimakentässä. Klassisen taivaanmekaniikan perusolettamuksia ovat Newtonin kolme liikelakia, jotka kertovat, miten kappaleet käyttäytyvät niihin kohdistuvien voimien vaikutuksesta. Voimat puolestaan ovat muista taivaankappaleista aiheutuvia vetovoimia, jotka niinikään noudattavat Newtonin vetovoimalakia. Tässä on periaatteessa kaikki tarvittava fysiikka!

Sir Isaac Newton (1642-1727)

Newton syntyi joulupäivänä 1642 keskosena, eikä hänen odotettu selviävän ensimmäisestä elinpäivästään (puhumattakaan 84 vuodesta). Hänen isänsä oli kuollut kolme kuukautta aikaisemmin ja hänen äitinsä hylkäsi hänet isoäidin huomaan mentyään uusiin naimisiin kaksi vuotta myöhemmin. (Newtonin selvästi psykoottisen luonteen katsotaan johtuneen hylkäämisen aiheuttamasta traumasta.)

Yhdentoista vuoden iässä, isäpuolen kuoleman jälkeen, Newton joutui takaisin äitinsä huomattavaksi karttuneille tiluksille niitä hoitamaan. Äiti kuitenkin huomasi pian poikansa kiinnostuksen kohdistuvan enemmän kirjoihin ja pelasti sekä tämän että tiluksensa lähettämällä pojan takaisin Granthamin oppikouluun.





Newton matkusti Trinity Collegeen, Cambridgeen, 1661 suorittamaan ylioppilaskirjoituksensa ja aloittamaan yliopisto-opintonsa. Perusopintojensa aikana Newton ei vakuuttanut kyvyillään ja valmistui ‘ilman ansioita’ huhtikuussa 1665. Myöhemmin samana vuonna yliopisto suljettiin Lontoossa vuotta aiemmin puhjenneen ruton vuoksi.

Yliopistossa Newton oli tutustunut Aristoteleen oppeihin ja tuloillaan olevaan uuteen maailmankuvaan. Erityisesti hän pani merkille ranskalaisen tieteenfilosofi René Descartes’n (1596-1650) ajatukset, joiden mukaan fysikaalinen todellisuus koostui vain ja ainoastaan liikkeessä olevista ainehiukkasista ja kaikki havaittavat ilmiöt ovat seurausta hiukkasten mekaanisesta kanssakäymisestä.





Kahden vuoden ajan Newton tutki kotitilallaan valon luonnetta ja teleskooppien rakentamista. Tutkiessaan auringonvaloa prismalla hän päätteli, että erivärinen valo taipuu väliaineessa eri tavoin. Havainto johti keksintöön, että eriväristen valojen fokusoituvuus eri etäisyyksille linssikaukoputkessa aiheutti kuvien suttuisuuden ja että olisi mahdotonta valmistaa sellaista linssiä, jossa kaikki valo fokusoituisi samalle tasolle. Tämän seurauksena Newton keksi oman versionsa peilikaukoputkesta. Ruttovuosina hän kehitti myös ideaansa planeettojen liikkeistä.

Cambridgen yliopiston avattua ovensa uudelleen 1667 Newton valittiin Trinity Collegen fellowiksi (collegen jäsen, tutkija). 1669 hänet valittiin matematiikan professoriksi.

Newton kehitti valo-oppiaan pidemmälle ja päätteli valon koostuvan hiukkasista, jotka ovat erikokoisia ja -luonteisia valon eri väreille. Käsitys valon hiukkasluonteesta oli saanut alkunsa!





Royal Society (of London for the Improvement of Natural Knowledge) kutsui Newtonin jäsenekseen 1671 vaikuttuneena tämän peiliteleskoopista. Newton kirjoitti seuralle artikkelin valosta ja väriopista. Robert Hooke (1635-1703), seuran johtajia, piti itseään optiikan asiantuntijana ja kirjoitti alentuvaa kritiikkiä paperista, mikä sai Newtonin raivostumaan yli kaiken rationaalisen ajattelun. Kolme vuotta myöhemmin Newton esitti toisen artikkelin, valon käyttäytymisestä ohuissa kalvoissa (Newtonin renkaat), ja tällä kertaa Hooke syytti Newtonia oman ajatuksensa varastamisesta.



Vuosina 1679 ja 1680 Hooke ja Newton kävivät (osin väkinäistä) kirjeenvaihtoa planeettojen ratadynamiikasta ja gravitaatiosta, minkä seurauksena Newton päätyi esittämään, että ellipsirata aiheuttaa polttopisteeseen kohdistuvan voiman, joka on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Newton oli johtanut voiman Keplerin laeista jo 1660-luvulla.

Brittiläinen tähtitieteilijä Edmund Halley (1656-1742) vieraili Newtonin luona 1684 ja sai selvityksen itseäänkin askarruttaneesta ratadynamiikasta. Vaikuttunut Halley rohkaisi Newtonia julkaisemaan teoriansa ja lisätutkimusten ja kirjoitustyön valmistuttua ilmestyi paitsi Newtonin mestariteos myös koko nykyisen tieteen perusteos: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.





Julkaisua edeltäneenä vuonna Newton oli lähettänyt kirjastaan kopion Royal Societylle. Robert Hooke vaati tätä heti tilille plagioinnista – viitaten aiempaan kirjeenvaihtoon miesten välillä. Jälleen Newton raivostui silmittömästi ja kävi läpi käsikirjoituksensa poistaen lähes jokaisen viittauksen Hookeen. Hän myös kieltäytyi julkaisemasta optiikkaa käsittelevää perusteostaan Opticks tai hyväksymästä Royal Societyn puheenjohtajuutta niin kauan kuin Hooke oli elossa.

Principia nosti Newtonin kansainväliseen kuuluisuuteen ja nuorten brittitiedemiesten idoliksi. Newton itse kyllästyi Cambridgen eristäytyneisyyteen ja muutti 1696 Lontooseen, missä hän sai viran rahapajan johtajana. Hooken kuoltua hän hyväksyi Royal Societyn puheenjohtajuuden 1703 ja kokosi kolmekymmentä vuotta aiemmin kirjoitetut paperit valo-oppia käsitteleväksi Opticks-teokseksi vuonna 1704.





Vuonna 1705 kuningatar Anne aateloi Newtonin – ensimmäisenä henkilönä tieteellisten saavutusten takia.

Sir Isaac ajautui riitoihin kuninkaallisen tähtitieteilijän, John Flamsteedin (1646-1719), kanssa tämän havainnoista Greenwichin Royal Observatoryssa. Sir Isaac halusi havainnot julkaistavaksi ja lopulta Flamsteedin materiaali vietiin tämän vastustuksesta huolimatta painoon. Itsekin hankalalla luonteella varustettu Flamsteed vetosi oikeuteen ja saikin havaintonsa takaisin. Sir Isaac kävi läpi Principian ja poisti tulevista painoksista kaikki viittaukset Flamsteediin.

Gottfried Wilhelm von Leibniz, saksalainen filosofi ja matemaatikko, julkaisi differentiaali- ja integraalilaskentaa koskevat menetelmänsä ennen Sir Isaacia, joka oli itsenäisesti kehittänyt samat menetelmät jo aikaisemmin (hän kutsui niitä fluksioiden ja fluenttien matematiikaksi). Sir Isaacin ja von Leibnizin välillä käytiin plagiointisyytöstaistelu, joka ei päättynyt edes von Leibnizin kuolemaan 1716, vaan Sir Isaac hyökkäsi kirjallisesti tätä vastaan omaan kuolemaansa asti.





Vanhoina vuosinaan uskonnolliseen mystiikkaan ja astrologiaan hairahtunut Sir Isaac Newton kuoli Lontoossa maaliskuun lopussa 1727.

“En tiedä, miltä näytän maailman silmissä, mutta omasta mielestäni tunnen olleeni vain meren rannalla leikkivä poika, joka silloin tällöin sai huvia löytäessään tavallista sileämmän kiven tai kauniimman kotilon totuuden suuren meren levittäytyessä tutkimattomana edessäni.”

Principia 1687

Aristoteleen mukaan kappale pysyy liikkeessä vain niin kauan kuin siihen kohdistuu eteenpäin työntävä voima.

Keskiajan loppupuolella Aristoteleen liikeoppia kritisoitiin ja voimakkaimmin sitä vastaan hyökkäsi Galilei, jonka tulokset olivat kuitenkin vain havaintoihin perustuvia kinemaattisia eli kappaleiden liikkeitä kuvailevia lakeja.

Liikkeiden syitä tutkiva dynamiikka sai alkunsa Newtonin painovoimateoriasta.



Newtonin lait
  • I Kappale pysyy levossa tai liikkuu tasaisesti suoraa pitkin, elleivät siihen kohdistuvat voimat pakota sitä muuttamaan liiketilaansa.
  • II Liikkeen muutos on verrannollinen kappaleeseen kohdistuvaan voimaan ja suuntautuu samaan suuntaan kuin kappaleeseen kohdistuva voima.
  • III Jokaista vaikutusta kohti on aina yhtä suuri vastavaikutus – eli kahden kappaleen toisiinsa aiheuttamat vaikutukset ovat aina yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset.


Kolmen kappaleen ongelma

Keplerin lait seuraavat helposti Newtonin laeista. Kysymyksessä on tälloin yksinkertaisin mahdollinen tilanne, jossa kaksi kappaletta kiertää toisiaan keskinäisen vetovoimansa vaikutuksen alaisena. Tämä on kahden kappaleen ongelma ja sitä koskevat liikeyhtälöt pystytään ratkaisemaan analyyttisesti.

Seuraavaksi mutkikkaampi järjestelmä on kolmen kappaleen systeemi. Vaikka tekisimme äärimmäisiä yksinkertaistuksia (kaikki kappaleet liikkuvat samassa tasossa, kolmas kappale on massaton, isot kappaleet liikkuvat ympyräradoilla), on meidän todettava tehtävä mahdottomaksi. Ei ole olemassa mitään yksinkertaista matemaattista lauseketta, joka kuvaisi kolmannen kappaleen paikan kaikkina ajan hetkinä.

Monimutkainen ratkaisu on olemassa: ääretön sarjakehitelmä (jonka kehitti suomalainen prof. Karl Frithiof Sundman, 1873-1949).



N:n kappaleen ongelma

Muutamia poikkeuksia lukuunottamatta todelliset fysikaaliset systeemit sisältävät huomattavasti kolmea enemmän kappaleita. Tällaisen N:n kappaleen systeemin liikkeitä voidaan tarkastella numeerisesti (tietokonesimulaatiot), häiriöteoriaa käyttäen tai soveltamalla kaaosteoriaa.

Häiriöteoriassa lasketaan ensin planeettojen liikkeet Auringon ympäri (tai kuiden liikkeet planeettansa ympäri) kahden kappaleen ongelmana ja sitten lisätään muiden kappaleiden aiheuttamat häiriöt liikeratoihin. Tuloksena saadaan sarjakehitelmä, josta planeettojen sijainnit saadaan suhteellisen helposti laskettua. Menetelmä on etäistä sukua episykliteorialle, joskin käyttäen ellipsiratoja. Planeettojen häiriöteorian kehitti käyttökelpoiseen muotoon Pierre Simon Laplace (1749-1827).



Laplacen mekanistisen maailmankuvan mukaan voisimme laskea maailmankaikkeuden kaikkien kappaleiden paikat kaikkina hetkinä menneisyydessä ja tulevaisuudessa, jos tietäisimme niiden tämänhetkiset paikat ja nopeudet ja niihin kohdistuvat voimat äärettömän tarkasti. Näitä arvoja on tietenkin mahdoton saada selville riittävän tarkasti, mutta vaikka ne tiedettäisiinkin, se ei riittäisi. Luonto ei käyttäydy newtonilaisen kellokoneiston tavoin vaan on luonteeltaan satunnainen.

Kaoottisten ilmiöiden tutkimus on osoittanut kuinka helposti pienetkin virheet alkuarvoissa saattavat kasvaa kiihtyvällä nopeudelle mitä pidemmälle systeemin kehitystä lasketaan. Kaaos ei kuitenkaan tarkoita, että systeemin käyttäytymistä olisi mahdoton ennustaa. Päinvastoin, kaoottiset radat voidaan numeerisesti laskea erittäin tarkasti. Joissakin tilanteissa juuri kaoottinen käyttäytyminen pitää systeemin stabiilina.



Kuun liike

Kuun liike on ollut yksi tähtitieteen tärkeimmistä ongelmista kautta aikojen. Newton sovelsi vetovoimalakiaan Kuun liikkeeseen, mutta sai väärän tuloksen käytettyään Kuun radan koolle väärää arvoa. Hän onnistui kuitenkin selittämään joitakin Kuun radan häiriöitä, kuten Kuun ratatason kiertymisen seuraukseksi Auringon vetovoimasta, joka pyrkii kääntämään rataa kohti ekliptikan tasoa. Sama ilmiö aiheuttaa Maapallon prekession.

Yksi ongelmista on Kuun radan Maata lähimmän pisteen, perigeumin kiertyminen. Täyden kierroksen se tekee 8.85 vuodessa, minkä Newton jo laski karkeasti. Alexis Clairaut (1713-1765) selitti ilmiön 1749 ja laati numeeriset taulukot Kuun liikkeiden laskemiseksi.

Viereisessä kuvassa perigeum kiertyy jokaista kierrosta kohti 12 astetta; todellisuudessa kiertymä kierrosta kohti on reilut kolme astetta, joten todellisia kierroksia on kuvaan verrattuna neljä kertaa tiheämmässä.



Clairautin teoriaa kehittivät edelleen mm. kuuluisat matemaatikot Euler, Laplace ja Pontécoulant.

1857 Peter Andreas Hansen (1795-1874) julkaisi kuutaulukkonsa ja 1860 Charles-Eugène Delaunay (1816-1872) analyyttisen teoriansa Kuun radalle, jossa häiriöitä kuvaa 320 termiä käsittävä sarjakehitelmä.

1878 George William Hill (1838-1914) julkaisi oman teoriansa, jota Ernest William Brown (1866-1938) jalosti edelleen vuonna 1919 ilmestyneissä kuutauluissaan. Brownin teoriaa käytetään yhä Kuun ilmiöiden laskemiseen.

Vieressä sivu Delaunayn kuuteoriaa käsittelevästä kirjasta. Sivulta alkaa häiriöfunktion (R) 320 termiä käsittävä yhtälö.

Neptunus

Taivaanmekaniikan yksi tehtävä on laskea kappaleiden paikat, kun niiden ratoja kuvaavat vakiot tunnetaan. Toinen tehtävä on tälle käänteinen, eli näiden vakioiden johtaminen havainnoista.

1800-luvun alkuun mennessä planeettojen radat tunnettiin jo varsin hyvin, mutta taivaalle ilmestyi aina silloin tällöin komeettoja, joiden radat olivat ennestään tuntemattomia. Ensimmäiset asteroidit löydettiin näihin aikoihin.

Ensimmäisen asteroidin löytäjän, Giuseppe Piazzin (1746-1826) havainnot päätyivät Johann Carl Friedrich Gaussille (1777-1855), joka kehitti käyttökelpoisen menetelmän radan laskemiseksi havainnoista.

Jean Joseph Urbain LeVerrier (1811-1877) ja John Couch Adams (1819-1892) ryhtyivät ratkaisemaan vielä vaikeampaa käänteistä ongelmaa: kuinka laskea rata kappaleelle, josta ei ollut lainkaan havaintoja.

Sir William Herschel oli 1781 löytänyt Uranuksen ja kertyneiden havaintojen perusteella alettiin epäillä, että jokin häiritsi uuden planeetan liikettä. Syylliseksi epäiltiin luonnollisesti vielä ulompaa planeettaa. Sekä Adams että LeVerrier onnistuivat laskemaan tuntemattoman planeetan radan teoreettisesti. LeVerrier pyysi Johann Gallea (1812-1910) etsimään planeettaa. Jo samana iltana, 23.9.1846, Galle löysi sen melkein lasketusta paikasta. Englantilaiset innostuivat asiasta ja totesivat jo tehneensä havaintoja Adamsin laskemasta paikasta, mutta jättäneensä havainnot käsittelemättä. Englanti ja Saksa riitelivät kiivaasti kummalle kuului löytäjän kunnia.



Merkuriuksen periheli

LeVerrier jatkoi planeettojen häiriöteorian kehittelyä ja saavutti jo alle kaarisekunnin tarkkuuden havaintojen ja teorian yhteensopivuudessa. Harmia aiheutti Merkurius, jonka perihelin suuntaa teoria ei ennustanut riittävän tarkasti. Silloisten havaintojen mukaan periheli kiertyi tähtitaivaan suhteen 565 kaarisekuntia vuosisadassa, kun teoria ennusti 527 kaarisekuntia. Erotus oli liian suuri johtuakseen havaintovirheistä.

Ongelmaa yritettiin ratkaista Auringon litistyneisyydellä, Merkuriuksen sisäpuolella liikkuvalla planeetalla (joka nimettiin Vulkanukseksi) ja pienellä poikkeamalla Newtonin vetovoimalaista. Havainnot eivät kuitenkaan vahvistaneet mitään niistä.

LeVerrierin teorian kehittelyä jatkoi Simon Newcomb (1835-1909), joka sai Merkuriuksen perihelin kiertymän ylimäärälle arvon 41±2 kaarisekuntia. Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria vuodelta 1915 ennusti arvoksi 43 kaarisekuntia, mikä on hyvin lähellä havaittua.



Takaisin pääsivulle