Pakonopeus

2. Pienin nopeus, jolla kappale voi paeta toisen kappaleen vetovoimakentästä.

Jos kappale liikkuu riittävän suurella nopeudella, se voi paeta keskuskappaleensa vetovoimakentästä. Teoriassa kenttä tietenkin ulottuu äärettömän kauas, joten pitäisi oikeastaan sanoa, että kappale pääsee etääntymään rajatta.

Ammutaan ilmakehättömän kappaleen pinnalla sijaitsevan vuoren huipulta ammus vaakasuoraan suuntaan. Jos lähtönopeus on pieni, ammuksen rata on ellipsi, jonka perisentri on planeetan sisällä ja ammus törmää planeetan pintaan. Kun lähtönopeutta lisätään, perisentri siirtyy planeetan ulkopuolelle. Tietyllä lähtönopeuden arvolla ammuksen rata on ympyrä. Lähtönopeutta lisättäessä radan eksentrisyys alkaa jälleen kasvaa, ja sen perisentri on nyt tykin kohdalla. Kun lähtönopeus on täsmälleen pakonopeuden suuruinen, rata on paraabeli, eikä ammus enää palaa takaisin. Tätä suuremmilla lähtönopeuksilla rata on hyperbeli.

Pakonopeus saadaan ehdosta, että kappale on menettänyt kaiken nopeutensa ollessaan äärettömän kaukana. Tällöin sen kineettinen energia on 0, koska sen nopeus on 0, ja myös potentiaalienergia on 0, koska etäisyys on ääretön. Äärettömän kaukana kokonaisenergia ja niin ollen myös energiaintegraali h on 0, joten energiaintegraalin säilymisestä saadaan yhtälö

v ²/ 2 - mu / R = 0,

missä R on etäisyys, jolta kappale lähtee nopeudella v. Tästä voidaan ratkaista pakonopeus v_e:

v_e = [ (2G (m₁ + m₂) / R ] ^1/2.

Esimerkiksi maapallon pinnalla v_e on noin 11 km/s (kun m₂ << m₁).

Pakonopeus voidaan lausua myös ympyräradan ratanopeuden v_c avulla. Kiertoaika P on radan säteen R ja nopeuden v_c avulla lausuttuna

P= 2 pi R / v_c.

Sijoitetaan tämä Keplerin kolmanteen lakiin, jolloin saadaan yhtälö

4 pi² R ² / v_c² = 4 pi² R ³ / G(m₁ + m₂).

Tästä voidaan ratkaista nopeus v_c, jolla ympyräradalla keskuskappaletta etäisyydellä R kiertävä kappale liikkuu:

v_c = [ G(m₁ + m₂) / R ] ^1/2

Vertaamalla tätä pakonopeuden lausekkeeseen nähdään, että

v_e = 2^1/2 v_c.