kotisivu
hakemisto
kartat
kohteet
teoriaa

Kosmologia

Aristoteelisen maailmankuvan murenemisen jälkeen kesti satoja vuosia, ennenkuin tähtitieteen tarjoama havaintoaineisto ja luonnontieteelliset teoriat kehittyivät sille asteelle, että niiden varaan on voitu rakentaa tyydyttävä kuva fysikaalisesta maailmankaikkeudesta. Ensimmäisinä ratkaisevina askelina voidaan pitää \ii{galaksien} luonteen selvittämistä 1920-luvulla, sekä jo l910-luvulla Einsteinin kehittämää \ii{yleistä suhteellisuusteoriaa}, joka muodostaa teoreettisen perustan tulkittaessa galaksiavaruutta koskevia havaintoja. Toisena ratkaisevana askelena oli koko maailmankaikkeuden täyttävän \ii{kolmen asteen mustan kappaleen säteilyn} havaitseminen 1960-luvulla, joka antoi vauhtia yrityksille selittää maailmankaikkeuden yleisimpiä ominaisuuksia sen alussa vallinneiden olojen seurauksina. Kosmologia pyrkii vastaamaan sellaisiin kysymyksiin kuin: Kuinka suuri ja kuinka vanha on maailmankaikkeus? Miten aine on siinä jakautunut ja miksi? Miten alkuaineet ovat syntyneet? Miten alkeishiukkaset ovat syntyneet ja miksi maailma on materiaa eikä antimateriaa? Minkälainen on maailmankaikkeuden tulevaisuus? Kosmologiassa on keskeisenä laajenevan maailmankaikkeuden malli, jonka pohjalta mm.\ näitä kysymyksiä on voitu tarkastella. \section{Kosmologisia havaintoja} \noindent {\bf\ii{Olbersin paradoksi}.} Ehkä yksinkertaisin kosmologinen havainto on, että yötaivas on pimeä. Tähän seikkaan lienee ensimmäisenä kiinnittänyt huomiota \i{Johannes Kepler}, joka vuonna 1610 käytti sitä todisteena äärellisen kokoisen maailmankaikkeuden puolesta. Kun sittemmin kopernikaanisen kumouksen seurauksena yleistyi käsitys äärettömään avaruuteen sirotelluista Auringon kaltaisista tähdistä, kysymys yötaivaan pimeydestä säilyi askarruttavana. 1700- ja 1800-luvuilla \i{Edmond Halley}, \i{Loys de Ch\'eseaux} ja \i{Heinrich Olbers} mainitsivat asiasta kirjoituksissaan ja ongelma onkin nimetty Olbersin paradoksiksi. \fig{4.8cm}{\frame{ -2 0 13 4.5}}{Olbersin paradoksi. Jos tähdet olisivat jakautuneet keskimäärin tasaisesti äärettömään muuttumattomaan avaruuteen, tulisi taivaan loistaa yhtä kirkkaana kuin tähden (esimerkiksi Auringon) pinnan, sillä jokainen näkösäde leikkaisi ennen pitkää jonkin tähden pinnan. Kaksiulotteinen analogia havaitaan optisesti paksussa mäntymetsässä, jossa näkösäde osuu lopulta puunrunkoon katsottiinpa mihin suuntaan tahansa. (M. Poutanen ja H. Karttunen) } \looseness=1 Paradoksi on seuraava: Oletetaan, että maailma on äärettömän suuri ja että siinä on keskimäärin tasaisesti jakautuneena tähtiä. Katsottiinpa mihin suuntaan tahansa, tulee ennen pitkää vastaan tähden pinta. Koska pintakirkkaus ei riipu etäisyydestä, näyttäisi taivas kaikkialta yhtä kirkkaalta kuin Auringon pinta. Koska taivas ei ole näin kirkas, on päättelyssä jokin vika. Nykyään tiedetään, että tähdet ovat olleet olemassa vain äärellisen ajan, joten hyvin etäisten tähtien valo ei olisi meitä vielä saavuttanut (eikä näkösäde siis kohdannut tähden pintaa). Niinpä Olbersin paradoksin asema on muuttunut äärellisen maailman todisteesta havainnoksi, joka selittyy maailman äärellisen iän avulla, olkoon maailma sitten äärellinen tai ääretön kooltaan ja tähtisisällöltään. \example Metsässä kasvaa $n$ puuta hehtaarilla. Kunkin puun paksuus on $D$. Puut ovat jakautuneet tasaisesti. Kuinka paljon metsää voi nähdä puilta? (Laske siis todennäköisyys, että näkösäde kohtaa puun viimeistään $x$ metrin etäisyydellä.) Miten tämä liittyy Olbersin paradoksiin? Ajatellaan havaitsijan ympärille $x$-säteinen ympyrä. Puut peittävät kehästä osan $s=s(x)$, $s\in\lbrack 0,1 \rbrack$. Siirrytään sitten ulospäin matkan $dx$ verran. Välillä $\lbrack x, x+dx \rbrack$ kasvaa puita $2\pi x n\,dx$ kappaletta. Ne peittävät matkan $2\pi xnD\,dx$ eli osan $nD\,dx$ ympyrän kehästä. Tästä osa $s(x)$ on jo ennestään puiden peitossa, joten kontribuutio on vain $(1-s(x))nD\,dx$. Saamme yhtälön $$ s(x+dx) = s(x) + (1-s(x)) nD\,dx, $$ ja tästä edelleen differentiaaliyhtälön $s$:lle: $$ {ds(x)\over dx} = (1-s(x)) nD. $$ Tämä on separoituva yhtälö, joka on helppo integroida: $$ \int_0^s {ds \over 1-s} = \int_0^x nD\,dx. $$ Tästä saadaan $$ s(x) = 1-e^{-nDx}. $$ Tämä on todennäköisyys, että katsottaessa satunnaiseen suuntaan nähdään korkeintaan $x$ metrin päähän. Funktio $s$ on todennäköisyysjakauman kertymäfunktio. Vastaava tiheysfunktio on $s$:n derivaatta. \ii{Keskimääräinen vapaa matka} $\lambda$ on tätä jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo: $$\lambda=\int_0^\infty x \biggl( {ds(x)\over dx} \biggr)\, dx = {1\over nD}. $$ Jos metsässä kasvaa esimerkiksi $2000$ puuta hehtaarilla, ja puut ovat $10\cm$ paksuja, on keskimääräinen vapaa matka $50$ metriä. Tilanne on helposti yleistettävissä kolmiulotteiseksi. Jos tilavuusyksikössä on $n$ tähteä, joiden läpimitta on $D$ ja näkösädettä vastaan kohtisuora pinta-ala $A=\pi D^2$, saadaan samanlainen tulos: $$\eqalign{ s(x)&=1-e^{-nAx},\cr \lambda &= 1/nA.} $$ Jos avaruudessa olisi esimerkiksi yksi Auringon kokoinen tähti kuutioparsekissa, kohtaisi näkösäde tähden pinnan keskimäärin $1.6\times 10^{14}$ parsekin etäisyydellä. Jos maailmankaikkeus olisi äärettömän vanha ja äärettömän suuri, hehkuisi koko taivas yhtä kirkkaana kuin Aurinko, vaikka näkisimmekin kyllä melkoisen kauas. \endex \noindent {\bf\ii{Galaksiavaruuden} \ii{homogeenisuus} ja \ii{isotropia}.} Vuonna 1923 \i{Edwin Hubble} osoitti, että \ii{Andromedan sumu} \ii{M31} on selvästi Linnunradan ulkopuolella ja ratkaisi näin pitkäaikaisen kiistakysymyksen nebulojen ja Linnunradan suhteesta. Valokuvissa runsaslukuisina näkyvät galaksit muodostavat Linnunradan mittasuhteita tavattoman paljon suuremman galaksiavaruuden. Kosmologian kannalta on merkittävää, että galaksiavaruuden perusosasten, galaksien ja galaksijoukkojen, jakaumat ja liikkeet ovat kaikkialla samanlaisia kuin meitä ympäröivässä paikallisessa maailmankaikkeuden osassamme. Galaksit esiintyvät yleisesti erilaisissa järjestelmissä, jotka vaihtelevat pienistä ryhmistä galaksijoukkoihin ja vieläkin suurempiin superjoukkoihin. Suurimmat havaitut rakenteet ovat kooltaan 100 Mpc:n luokkaa ja siten huomattavasti pienempiä kuin havaintopiiriimme kuuluva avaruuden alue (muutamia tuhansia Mpc), jolta galaksien keskimääräisestä jakautumisesta on saatu tietoa. Yksi tapa tutkia maailmankaikkeuden laajamittaista yhdenmukaisuutta on laskea annettua rajasuuruusluokkaa $m$ kirkkaampien galaksien lukumäärä. Jos galaksit ovat tasaisesti jakautuneina avaruudessa, tämän lukumäärän tulisi kasvaa kuten $10^{0.6m}$ (kuva 19.2 ja esimerkki 17.1). Esimerkiksi Hubblen pistokoemaiset \ii{galaksilaskennat} v.\ 1934, jotka käsittivät yhteensä $44\,000$ galaksia, olivat sopusoinnussa sen kanssa, että galaksit ovat suurilla alueilla jakautuneet keskimäärin tasaisesti (\ii{homogeenisuus}) ja suunnasta riippumatta samalla tavalla (\ii{isotrooppisuus}). Hubble ei löytänyt maailmankaikkeuden "reunaa", eikä sitä ole myöhemmissäkään galaksilaskennoissa kyetty löytämään. Vastaavia laskentoja on tehty myös ekstragalaktisille \ii{radiolähteille}. (Magnitudin paikalla on radiosäteilyn vuontiheys. Koska $m =-2.5 \lg F/F_0$, missä $F$ on vuontiheys, on $N \propto 10^{0.6 m} \propto F^{-3/2}$.) Tällöin ovat kyseessä pääasiassa hyvin etäiset \ii{radiogalaksit} ja \ii{kvasaarit}. Tulokset viittaavat siihen, että kauan sitten radiolähteet olivat joko paljon kirkkaampia kuin nykyään tai sitten ne olivat paljon yleisempiä. Tämä todistaa kehittyvän, laajenevan maailmankaikkeuden puolesta. \ii{Homogeenisuuden} lisäksi ekstragalaktisten kohteiden laskennat puhuvat myös galaksiavaruuden \ii{isotropian} puolesta. Isotropialla tarkoitetaan sitä, että kaikki maailmankaikkeuden suunnat näyttävät samanlaisilta. Havaittu isotropia on samalla myös todiste homogeenisuudesta, sillä laajamittainen epähomogeenisuus ilmenisi poikkeamana isotropiasta. Sen sijaan homogeeninen avaruus voi olla epäisotrooppinen, esimerkiksi jos maailmankaikkeudessa on homogeeninen magneettikenttä. \leftfig{8cm}{0cm}{7.5cm}{\pict{l19distr.ps}}{ Galaksien lukumäärä rajamagnitudin funktiona noudattaa tasaisen jakauman 10$^{0.6m}$-lakia aina magnitudiin $B =$ 20 asti. Siitä eteenpäin tapahtuva loiveneminen voidaan selittää maailmankaikkeuden epäeuklidisuuden\break ja laajenemisen avulla.} \fig{12.8cm}{\frame{0 0 11 12.5}}{ Kaukaisimpia kosmologian havaintokohteita ovat \ii{kvasaarit}. Kuvassa kvasaari \ii{3C295} ja sen spektri. (Palomar Observatory)} Galaksien ja radiolähteiden keskimääräisen jakautumisen lisäksi useat muut havainnot todistavat maailmankaikkeuden isotropiasta. Tärkeimmät näistä ovat termisen taustasäteilyn isotropia ja maailmankaikkeuden laajeneminen. \noindent {\bf\ii{Hubblen laki} ja maailmankaikkeuden ikä.} \i{Edwin Hubble} havaitsi 1920-luvun lopulla, että galaksien lähettämässä säteilyssä spektriviivat ovat siirtyneet pitempien aallonpituuksien suuntaan sitä enemmän mitä kauempana galaksit ovat. Kun Hubblen laki tulkitaan \ii{Dopplerin ilmiön} avulla, se sanoo, että galaksit etääntyvät toisistaan sitä nopeammalla vauhdilla mitä suurempi on niiden välimatka. \ii{Punasiirtymän} $z = (\lambda-\lambda_0)/ \lambda_0$ avulla \ii{Hubblen laki} voidaan kirjoittaa muotoon $$ z = {H\over c} r, \eqno\numeq $$ missä $c =$ valon nopeus, $H =$ \ii{Hubblen vakio} ja $r =$ galaksin etäisyys. Pienillä nopeuksilla ($v \ll c$) voidaan Dopplerin ilmiölle käyttää kaavaa $z = v/c$, joten Hubblen laki saa tavallisesti käytetyn muodon \vv $$ \frame{-0.5 -0.6 1.7 0.45} v = Hr.\eqno\numeq $$ \vv Tavallisimmin Hubblen laki tulee esille havaintoaineistosta näennäisen magnitudin $m$ ja \ii{punasiirtymän} logaritmin $\lg z$ välisenä lineaarisena riippuvuutena (kuva 19.4). Tämä selittyy seuraavasti: Oletetaan, että havaintoaineisto muodostuu "standardikynttilöistä", so. galakseista, joiden absoluuttinen magnitudi ei vaihtele paljoa keskiarvon $M_0$ ympärillä. Tällöin etäisyydellä $r$ olevan galaksin näennäinen magnitudi on $m = M_0 + 5 \log(r/10 {\rm pc})$, joten Hubblen lakia vastaa riippuvuus $$ m = M_0 + 5 \lg {cz\over H\times 10{\rm pc}} = 5 \lg z + C, \eqno\numeq $$ jossa vakio $C$ riippuu $H$:sta ja $M_0$:sta. Hubblen lain tutkimuksessa käytettyjä standardivalolähteitä ovat olleet mm. galaksijoukkojen kirkkaimmat galaksit ja kirkkausluokitellut Sc-galaksit. \leftfig{7cm}{0cm}{7.5cm}{\frame{0 0 7 7}}{\ii{Hubblen laki} \ii{galaksijoukkojen}\break kirkkaimmille galakseille sekä eri \ii{Friedmannin mallien} ennusteita. Havaintojen perusteella ei voida vielä tehdä valintaa eri mallien välillä.} \leftfig{7cm}{0cm}{7.5cm}{\pict{l19age.ps}}{ Koska \ii{maailmankaikkeuden\break laajeneminen} hidastuu\break jatkuvasti, \ii{Hubblen\break vakion} käänteisarvo\break antaaa vain ylärajan maailmankaikkeuden iälle. Todellinen ikä on pienempi, ja sen arvo riippuu \ii{hidastuvuusparametrin} arvosta.} Hubblen lain pätevyys on nykyään vahvistettu suunnilleen punasiirtymävälillä $\brck{0.01, 1}$. Pienillä etäisyyksillä (punasiirtymillä) Hubblen lakiin vaikuttavat paikalliset nopeushäiriöt, joita ei tarkalleen tunneta. Suurilla punasiirtymillä Hubblen lain tarkkaa muotoa on vaikea testata, koska tutkimuksia haittaa standardikynttilöiden puute. Jos Hubblen laki (19.2) tulkitaan laajenemisen avulla, galaksit olivat aikaisemmin lähempänä toisiaan. Jos laajeneminen on tapahtunut vakionopeudella, hidastumatta, on Hubblen vakion käänteisarvo $T = H^{-1} \brck{\rm{}s}$ suure, jota voitaisiin kutsua \ii{maailmankaikkeuden iäksi}: aika $d/v = H^{-1}$ on kulunut siitä kun kaksi hiukkasta, joiden välimatka ja nopeus ovat nyt $d$ ja $v$, olivat toisissaan aivan kiinni. Jos laajeneminen on vähitellen hidastunut, niin kuin ajatellaan, antaa $T$ ylärajan maailmankaikkeuden iälle. Nykyisin arvellaan, että $50\ \kmsmpc < H < 100\ \kmsmpc$, jolloin $20\times 10^9\ {\rm a} > T > 10\times 10^9\ {\rm a}$. \fig{5cm}{\pict{l19oo.ps}}{\ii{Hubblen lain} mukainen säännöllinen laajenemisliike ei merkitse, että \ii{Linnunrata} (O) on yksinään laajenemisen keskus. Esimerkiksi galaksilta O' havaitaan samanlainen Hubblen laki (katkoviivat).} Huomattava epävarmuus \ii{Hubblen vakion} arvossa aiheutuu pääasiassa ekstragalaktisten etäisyyksien mittaamisen vaikeudesta. Laatikossa 19.1 on tästä suppea katsaus. Toisen ongelman muodostaa nopeus $v$. Lähietäisyyksillä mitatut nopeudet sisältävät todennäköisesti merkittävästi \ii{pekuliaarinopeutta} senkin jälkeen kun ne on korjattu ottaen huomioon Auringon nopeus \ii{paikallisen galaksiryhmän} sisällä. Laajeneminen ei ole paikallisesti aivan säännöllistä, vaan massatihentymät, esimerkiksi galaksiryhmät tai paikallinen supergalaksi aiheuttavat gravitaatiollaan poikkeamia. On mahdollista, että paikallisella ryhmällä on huomattava nopeus paikallisen supergalaksin keskuksen (\ii{Virgon galaksijoukko}) suuntaan. Koska Virgon joukkoa on usein käytetty $H$:n määrittämiseen, tämän pekuliaarinopeuden huomiotta jättäminen aiheuttaa suuren virheen $H$:ssa. Toistaiseksi pekuliaarinopeuden suuruutta ei tunneta kovin tarkasti, mutta se lienee luokkaa 250 km/s. Hubblen laki saattaa johtaa käsitykseen, että Linnunrata olisi laajenemisen keskus, jolloin kopernikaaninen periaate olisi uhattuna. Kuvasta 19.6 kuitenkin nähdään, että säännöllisesti laajenevassa maailmankaikkeudessa Hubblen laki havaitaan samanlaisena katsottiinpa tilannetta mistä galaksista hyvänsä---mikään paikka ei ole erityisasemassa. Hubblen laista johdettiin yläraja maailmankaikkeuden iälle. Esimerkiksi maapallon, Auringon ja Linnunradan \ii{tähtijoukkojen iät} voidaan riippumattomasti arvioida, ja on vaadittava, että näin saadut iät ovat sopusoinnussa laajenemisesta johdetun kanssa. \iii{Auringon ikä}\iii{Maapallon ikä} Vanhimmat radioaktiivisen hajoamisen avulla saadut ajoitukset ovat noin $3.8\times 10^9$ vuotta, ja niiden perusteella maapallon iäksi on arvioitu noin $4.7 \times 10^9$ vuotta. Auringon ikä arvioidaan vähän tätä suuremmaksi. Linnunradan vanhimpien \ii{tähtijoukkojen iäksi} on saatu 10 -- 15 $\times 10^9$ vuotta. Näin saadut arvot antavat tietysti alarajan koko \ii{maailmankaikkeuden iälle}. On erittäin merkittävää, että kosmisten kohteiden iät ja Hubblen vakiosta saatava arvo ovat niin lähellä toisiaan. Tämä on lisätodisteena sille, että Hubblen laissa on kyse \ii{maailmankaikkeuden laajenemisesta}. Se myös ilmaisee, että Linnunradan pallomaiset tähtijoukot ovat peräisin läheltä maailmankaikkeuden alkua. \fig{7.3cm}{\frame{0 0 11 7}}{ Kosmisesta \ii{taustasäteilystä} \ii{COBE-satelliitilla} tehdyt havainnot osoittavat säteilyn noudattavan tarkasti noin 2.7 asteen lämpötilassa olevan \ii{mustan kappaleen säteilylakia}.} \noindent {\bf Terminen \ii{taustasäteily}.} Kosmologian kannalta tärkein havainto sitten Hubblen lain keksimisen tehtiin vuonna 1965. Tällöin \i{Arno Penzias} ja \i{Robert Wilson} huomasivat taivaalta tulevan mikroaaltosäteilyä, joka vastaa noin 3 kelvinin lämpötilassa olevan mustan kappaleen säteilyä. Löydöstään he saivat Nobelin palkinnon vuonna 1979. Tällaisen kosmisen taustasäteilyn olemassaolon oli ennustanut jo 1940-luvun lopulla \i{George Gamow}, joka oli ensimmäisten joukossa tutkinut laajenevan maailmankaikkeuden alkutilaa. Hänen mukaansa kaikki alkuaineet olivat syntyneet maailmankaikkeuden alkuhetkinä tiheyden ollessa riittävän suuri. Jotta ydinreaktioita olisi voinut silloin tapahtua, lämpötilan oli täytynyt olla riittävän korkea. Maailmankaikkeuden silloin täyttäneen kuuman säteilyn jäännöksen tulisi vielä olla havaittavissa. Tämän avaruuden laajentuessa jäähtyneen säteilyn pitäisi nykyään täyttää muutaman kelvinin lämpöisenä koko maailmankaikkeus. Penziasin ja Wilsonin löydön jälkeen \ii{kosmista taustasäteilyä} on tutkittu eri aallonpituuksilla. \ii{COBE-satelliitilla} tehdyt havainnot osoittavat, että se noudattaa hyvin tarkasti \ii{mustan kappaleen} spektriä, jonka lämpötila on $2.73 \pm 0.06$ K. Termisen taustasäteilyn kosmologinen merkitys on ensinnäkin siinä, että se voidaan selittää syntyneeksi laajenevan maailmankaikkeuden alkuaikoina, eikä sille ole kyetty löytämään muunlaista selitystä. Toisaalta sen tarkka isotropia tukee isotrooppisia kosmologisia malleja, joita nykyään käytetään. Kosmisen mikroaaltotaustan olemassaolon ennustaminen perustui alkuaineiden, ennen muita \ii{heliumin}, runsauksien selittämiseen. Havaintojen mukaan heliumia, vedyn jälkeen yleisintä alkuainetta, on noin 25 \% massasta vanhimmissa havaituissa kohteissa. Maailmankaikkeuden kuumina alkuhetkinä syntynyt heliumin määrä riippuu herkästi silloin vallitsevasta lämpötilasta, joka taas on yhteydessä taustasäteilyn lämpötilaan. Laajenevan maailmankaikkeuden standardimallien (\ii{Friedmannin mallit}) perusteella suoritetut laskelmat johtavat tätä arvoa hyvin lähellä olevaan heliumin määrään. \ii{COBE-satelliitti} on myös havainnut lämpötilan vaihteluja taivaalla. Tärkein näistä on laajan mittakaavan vaihtelu, joka voidaan tulkita seurauksena Auringon liikkeestä koko maailmankaikkeuden suhteen. Tämä liike aiheuttaa taustasäteilyn punasiirtymän, joka riippuu suunnasta auringon nopeusvektorin suhteen. Kun Auringon nopeus Linnunradassa ja Linnunradan nopeus paikallisessa ryhmässä vähennetään havaitusta nopeudesta, saadaan tulokseksi että paikallinen ryhmä kokonaisuudessaan liikkuu nopeudella 620 km/s kohti galaktisia koordinaatteja $(l,b) = (271\deg, 29\deg)$ \ii{Vesikäärmeen} tähdistön suunnassa. Tämän lisäksi COBE-satelliitti on havainnut pienemmän mittakaavan lämpötilan vaihteluja, joiden suhteellinen voimakkuus on $6 \times 10^{-6}$. Niiden uskotaan olevan \ii{gravitaatiopunasiirtymiä}, jotka ovat syntyneet paikallisista massatihentymistä maailmankaikkeuden alkuaikoina. Havaitut maailmankaikkeuden rakenteet ovat myös myöhemmin syntyneet samoista massatihentymistä, ja näin taustasäteilyn vaihtelut antavat tärkeätä tietoa galaksien ja galaksijoukkojen alkuperästä. \example Laske 2.7 asteen taustasäteilyn fotonitiheys (fotonia tilavuusyksikköä kohti). Säteilyn intensiteetti on $$ I_\nu={2h\nu^3\over c^2}{1\over e^{h\nu/kT}-1} $$ ja energiatiheys $$ u_\nu={4\pi\over c}I_\nu ={8\pi h\nu^3\over c^3}{1\over e^{h\nu/kT}-1} $$ Fotonien lukumäärä tilavuusyksikössä saadaan jakamalla energiatiheys yksittäisen fotonin energialla ja integroimalla tämä kaikkien taajuuksien yli: $$N=\int_0^\infty {u_\nu d\nu \over h\nu} ={8\pi \over c^3} \int_0^\infty \nu^2 {d\nu \over e^{h\nu/kT}-1}. $$ Sijoitetaan tähän $h\nu/kT=x$ ja $d\nu=(kT/h)dx$: $$N=8\pi \biggl({kT\over hc}\biggr)^3 \int_0^\infty {x^2\,dx\over e^x - 1}. $$ Tässä esiintyvää integraalia ei voi lausua alkeisfunktioiden avulla (sille saadaan kyllä sarjakehitelmä $2\sum_{n=1}^\infty(1/n^3)$), mutta numeerisesti on helppo laskea, että sen arvo on 2.4041. Fotonien tiheys lämpötilassa 2.7 K on $$\eqalign{ N&=16\pi\left({1.3805\times 10^{-23}\times 2.7 \over 6.6256\times 10^{-34}\times 2.9979\times 10^8} \right)^3\times 1.20206/{\rm m}^3\cr &=3.99\times 10^8/{\rm m}^3 \approx 400/{\rm cm}^3.} $$ \endex \page \boxi{Hubblen vakio}{20.7} \noindent On hieman hupaisaa käyttää nimitystä "Hubblen vakio" suureelle, joka jo määritelmänsä mukaan ei ole mikään ajallinen vakio ja jonka mitattu arvokin on liikkunut välillä 550--40 $\kmsmpc$. Useimmissa kosmologisissa malleissa $H$:n arvo muuttuu jatkuvasti ja olisikin parempi puhua yleisesti Hubblen parametrista $H$, jonka tämän hetkistä arvoa merkitään $H_0$:lla. Niillä suhteellisen läheisillä etäisyyksillä, jossa Hubblen vakio on mahdollista mitata, $H_0$ saadaan suhteesta $V/r$, jossa $r$ on mitattavana olevan galaksin (tai galaksijoukon) etäisyys Linnunradasta ja $V$ on laajenemisnopeus ko. etäisyydellä. $V$ ei välttämättä ole sama kuin galaksin punasiirtymästä saatu nopeus, koska punasiirtymään on yleensä vaikuttamassa myös Linnunradan ja galaksin pekuliaarinopeus (ks. laatikko 19.3). Nopeudesta $V$ aiheutuvaa epävarmuutta voidaan vähentää määrittämällä ensin paikalliset pekuliaarinopeudet tai suorittamalla $V$:n ja $r$:n mittaus niin kaukaisille kohteille, että suhteessa $V/r$ tuntemattoman pekuliaarinopeuden osuus jää merkityksettömäksi. Linnunrata sijaitsee Paikallisen Supergalaksin, \ii{Virgon galaksijoukon} ympärille keskittyneen galaksien ja galaksiryhmien kasautuman reuna-alueilla. Tämä massakeskittymä on todennäköisesti hidastuttanut yleistä laajenemista ympärillään ja Linnunradan kohdalla se merkinnee noin 250 km/s pienempää pakonopeutta \ii{Neitsyestä} pois päin kuin mitä olisi odotettavissa ilman tuota massakeskittymää. Linnunradalla on siis noin 250 km/s suuruinen \ii{pekuliaarinopeus} Virgon galaksijoukon suuntaan---tarkka arvo on tosin vielä epävarma. Paikallisiin nopeuksiin saattaa vaikuttaa vielä Supergalaksin mahdollinen pyöriminenkin. Pekuliaarinopeuksia vielä pahemman ongelman muodostaa etäisyyksien luotettava määrittäminen. Oheisessa $H_0$:n mittausten historiaa kuvaavassa taulukossa näkyvä suuri aleneminen, $550\ \kmsmpc \rightarrow 50$--$100\ \kmsmpc$, on aiheutunut nimenomaan etäisyysmittausten paranemisesta; tosin jatkuvasti on myös tullut käyttöön yhä suurempia pakonopeuksia. Kun \ii{Hubblen} mittaamat nopeudet olivat muutamia satoja kilometrejä sekunnissa, käytetään viimeisimmissä $H$:n määrityksissä noin 30 000 km/s pakonopeuksia Vuoden 1975 jälkeen on eri menetelmillä saatu Hubblen vakiolle arvoja, jotka vaihtelevat välillä 50--100 $\kmsmpc$. Useat viimeisimmät tutkimukset ovat tosin antaneet tulokseksi $H_0 =$ 70--80 $\kmsmpc$. Erityisen merkittävä on \ii{Hubblen avaruusteleskoopilla} \ii{kefeidien} avulla mitattu \ii{Virgon galaksijoukkoon} kuuluvan spiraaligalaksin \ii{M100} etäisyys, josta johdettu $H_0$:n arvo on $80 \pm 17\ \kmsmpc$. Kun avaruusteleskoopin mittauksia saadaan useammista galakseista, Hubblen vakion arvo saattaa vihdoin varmistua. \page \boxicont{20.7} \noindent{\bf Taulukko 1.} {\sl Hubblen vakion arvoja [km s$^{-1}$ Mpc$^{-1}$].} \tablea{#\h&\q#\h&\q\h#&\q#\h} { 1936&Hubble &536&etäisyysindikaattorina galaksien\cr & & &kirkkaimmat tähdet, kalibrointi\cr & & &paikallisessa ryhmässä\cr 1950&Baade &200&etäisyydet paikallisessa ryhmässä\cr & & &aiemmin arvioitu liian pieniksi\cr 1958&Sandage&100&jotkut Hubblen "kirkkaimmat\cr & & &tähdet" olivatkin HII-alueita\cr 1975&Sandage& 55&osittain pieni arvo johtuu\cr & & &kalibrointiin käytetyille\cr & & &lähigalaksi ryhmille saaduista\cr & & &yhä suuremmista etäisyyksistä,\cr & & &jotka ovat kyllä kiistanalaisia\cr 1993&Sandage& 45&1990-luvun alussa Sandage on\cr & & &useissa julkaisuissaan suosinut\cr & & &pientä $H_0$:n arvoa\cr } \noindent{\bf Taulukko 2.} {\sl Ekstragalaktisia etäisyysindikaattoreita.} \tableb{#\h&\q#\h&\q\h#} {kohde/menetelmä & soveltuvuus & tyypillinen \cr & [Mpc] & epätarkkuus } {kefeidit/periodi-luminositeetti & 0--4 & 20 \%\cr suurimmat HII-alueet/läpimitta & 0--10& 30 \%\cr kirkkaimmat tähdet & 0--10& 30 \%\cr HI-viivojen leveys/Tully-Fisher & 0--100& 20 \%\cr Sc-galaksit/luminositeettiluokat& 0--100& 40 \%\cr joukon kirkkaimmat galaksit &20--2000& 30 \%\cr } Useat seikat tekevät ekstragalaktisista etäisyysmittauksista niin hankalia, että seurauksena on jopa 50 \% virhe $H_0$:ssa. Mittaukset perustuvat kohteen näennäisen magnitudin tai kulmaläpimitan vertailemiseen niissä läheisissä kohteissa, joiden etäisyydet tunnetaan muilla keinoin. Tällöin seuraavanlaiset vaikeudet olisi voitettava: {\parfillskip0pt 1) Olisi löydettävä standardikohteita, joiden ominaisuuksien vaihtelu on vähäinen. Jos esimerkiksi käytetään suurimpien HII -alueiden kulmaläpimittoja emägalaksin etäisyyden määrittämisessä vertaamalla läpimittoja Paikallisen galaksiryhmän galaksien HII-alueiden läpimittoihin, tulisi tietää vaihtelevatko suurimpien HII-alueiden läpimitat paljon galaksista toiseen. Itse asiassa vaihtelu tai hajonta on huomattavan suuri. Läpimitat riippuvat ainakin emägalaksin absoluuttisesta magnitudista (tai kirkkausluokasta), jonka tuntemisella voidaan hajonnan } \page \boxicont{20.7} \vbox to 8.8 cm{\frame{1 0 10 8.5}\vfill} \noindent {\sl Maailmankaikkeuden etäisyyksien määrittämisessä ovat olleet tärkeässä asemassa \ii{Ison karhun} tähdistön galaksit \ii{M81} (yllä) ja \ii{M101} (alla). (Palomar Observatory)} \vskip3mm \vbox to 8.5 cm{\frame{1 0 10 8.5}\vfill} \page \boxicont{12.2} \vbox{\noindent aiheuttamaa epävarmuutta vähentää. Taulukossa 2 on joitakin esimerkkejä erilaisista ekstragalaktisten kohteiden etäisyyksien määrittämiseen käytetyistä kohteista ja menetelmistä. Arvioidut virheet saattavat olla optimistisia. 2) Etäisyysmittauksissa on erityisen tärkeää, että hajonta ei aiheuta etäisyydestä riippuvaa systemaattista virhettä. Tässä yhteydessä puhutaan kirkkausselektiosta, mikä tarkoittaa, että suurilta etäisyyksiltä tulee helposti aineistoon pääasiassa keskimääräistä kirkkaampia standardikohteita. Tällöin etäisyydet tulevat määritetyiksi liian pieniksi ja $H$:n arvo liian suureksi. Kirkkausselektio on vaikea ongelma, jonka voittamiseksi on pyritty kehittämään erilaisia menetelmiä. Todennäköisesti sen vaikutus näkyy edelleenkin $H$:n arvojen hajonnassa. 3) Etäisyyksien mittaus on kiipeämistä pitkin kosmisia tikapuita, joiden jokaisella askelmalla on virheen mahdollisuus. Alemman askelman virhe heijastuu suoraan ylempiin askelmiin. Esimerkiksi kun \ii{paikallisen ryhmän} jäsenten etäisyysarvot suunnilleen kaksinkertaistuivat \ii{Baaden} työn tuloksena, laajenivat kaikki paikallisen ryhmän ulkopuoliset etäisyydet kaksinkertaisiksi. Kun sitten \ii{Hyadien} tähtijoukon etäisyys arvioitiin 50 pc:ksi aiemman 40 pc:n sijasta, ekstragalaktiset etäisyydet kasvoivat vastaavasti. Paikallisen ryhmän jäsenten etäisyydet perustuvat suurimmaksi osaksi kefeidien periodi-luminositeetti-relaatioon. Relaation kalibrointi, siis mitä jaksoa vastaa mikin absoluuttinen magnitudi, suoritetaan pääasiassa Linnunradan tähtijoukoissa sijaitsevien kefeidien avulla ja tähtijoukkojen etäisyydet saadaan sovittamalla HR-diagramman pääsarjat yhteen Hyadien pääsarjan kanssa. } \ebox \section{Kosmologinen periaate} \noindent Kun ajatellaan tarkasteltavan maailmankaikkeudesta yhä laajempia alueita, olisi maailmanmallien kannalta toivottavaa, että vihdoin saavutettaisiin tilanne, jossa maailma näyttäisi yksinkertaiselta ja säännölliseltä. Kuva 19.8 havainnollistaa asiaa. Siinä on tasolle sirotettu hiukkasia. Kun havaitsijan $O$ ympärille piirrettyä ympyrää suurennetaan, saavutetaan vihdoin havaintopiiri, jota edelleen kasvattamalla hiukkasten keskimääräinen tiheys tason pinnalla ei enää paljoa vaihtele. Sama toistuisi, vaikka $O$ siirrettäisiin minne tahansa tason pisteeseen: lähi\-etäisyyksillä aine on jakautunut epäsäännöllisesti, mutta havaintopiiriä tarpeeksi laajennettaessa aineen keskimääräinen tiheys pysyy vakiona. Tämä on esimerkki kosmologisesta periaatteesta: lukuun\-ottamatta paikallisia epäsäännöllisyyksiä, maailma näyttää samanlaiselta mistä pisteestä tahansa sitä katsotaankin. Kosmologinen periaate on perustava oletus, joka on ohjannut kosmologisten teorioiden muodostusta. Jos kosmologisen periaatteen lisäksi oletetaan, että maailma on \ii{isotrooppinen}, jolloin sen tulee olla myös \ii{homogeeninen}, siitä seuraa, että aineen liiketilan tulee senkin olla säännöllinen. Tällöin kahden kappaleen välisen nopeuden $v$ tulee olla suoraan verrannollinen niiden väliseen etäisyyteen $r$ suunnista ja sijainneista riippumatta ($v = Hr$). Tämähän on \ii{Hubblen laki}. Kuvan 19.8 tasomaailma on isotrooppinen ja homogeeninen lukuunottamatta paikallisia epäsäännöllisyyksiä. Aiemmin todettiin, että tähtitieteelliset havainnot tukevat aineen ja säteilyn isotrooppista jakautumista havaittavissa olevassa ympäristössämme eli metagalaksissa. Kosmologisen periaatteen mukaan tämä tukee käsitystä isotrooppisesta ja homogeenisesta maailmasta. Kosmologiseen periaatteeseen liittyy läheisesti \ii{kopernikaaninen periaate}, jonka mukaan Linnunrata ei ole missään erityisasemassa maailmankaikkeudessa. Tämän periaatteen perusteella on luonnollista olettaa, että kaikki maailmankaikkeuden ominaisuudet ja luonnonlait ovat kaikkialla samoja kuin paikallisesti havaitut. Homogeenisuus ja isotropia voidaan näin ottaa yksinkertaistavina oletuksina lähtökohdaksi kosmologisia malleja laadittaessa. Vertaamalla näiden mallien ennusteita paikallisiin havaintoihin voidaan valita näiden kanssa parhaiten yhteensopiva malli. \downfig{7cm}{\frame{0 0 11 6.7}} {\ii{Kosmologinen periaate}. Havaitsijan O ympärillä olevassa pienessä ympyrässä A ei galaksien jakauma vielä heijasta suuriskaalaisen jakauman luonnetta. Isomman ympyrän B sisällä galaksien jakauma on jo keskimäärin tasainen.} \topinsert \noindent \vbox to 14 cm{{\pict{l19circ.ps} \ii{Galaksien} on havaittu jakautuneen avaruuteen "saippuavaahdon" tavoin. Tihentymät esiintyvät jonoina ja alueina, joiden\break välissä on suhteellisen tyhjää avaruutta.\break (Seldner et al.\break (1977) Astron. J. {\bf 82}, 249) \vfill } \global\advance\fignum by 1} \endinsert \section{Homogeeniset ja isotrooppiset\nl maailmankaikkeuden mallit} \noindent Varsin yleisten ehtojen vallitessa voidaan valita annetussa maailmankaikkeuden mallissa aika- ja avaruuskoordinaatit siten, että aineen mukana liikkuvan havaitsijan paikkakoordinaatit pysyvät vakioina. Voidaan osoittaa, että homogeenisessa ja isotrooppisessa mallissa nämä koordinaatit voidaan valita siten, että \ii{viivaelementti} (ks. liite C) on muotoa $$ds^2 =-c^2dt^2 + R^2(t) \left\lbrack {dr^2\over 1-kr^2} + r^2(d\theta^2 + cos^2\theta\, d\phi^2) \right\rbrack. \eqno\numeq $$ Tätä sanotaan \i{Robertsonin--Walkerin viivaelementiksi}. Radiaalinen koordinaatti $r$ on tehty dimensiottomaksi käyttäen ajasta riippuvaa \i{mittakaavatekijää} $R(t)$. Jos $R(t)$ kasvaa ajan mukana, kaikki etäisyydet, kuten galaksien välimatkat kasvavat. Kerroin $k$ voi saada arvot $+1$, 0 tai $-1$, joiden mukaan saadaan kolme geometrialtaan erilaista maailmankaikkeuden mallia, \i{elliptinen} eli suljettu, \i{parabolinen} (euklidinen) ja \i{hyperbolinen} eli avoin malli. \ii{Elliptisen geometrian} ($k = +1$) kaksiulotteinen vastine on pallon pinta: sen pinta-ala on äärellinen, mutta sillä ei ole reunaa. Mittakaavatekijä $R(t)$ kuvaa pallon kokoa: pinnan pisteiden keskinäisiä välimatkoja tai pallon sädettä. $R$:n muuttuminen merkitsee pallon kasvamista tai pienenemistä. Kolmiulotteinen "pallonpinta" eli elliptisen geometrian avaruus on tilavuudeltaan äärellinen, mutta sillä ei ole reunaa. Voimme lähteä liikkeelle mihin suuntaan tahansa ja aina tarpeeksi kauan kuljettuamme palaamme samaan pisteeseen, aivan kuten kaksiulotteisessakin tapauksessa. Kun $k=0$, avaruus on \i{laakea} ja etäisyysvälin kaava (19.4) on lähes sama kuin \ii{Minkowskin avaruudessa}. Erona on kuitenkin mittakaavatekijä $R(t)$. Euklidisen avaruuden kaikki välimatkat muuttuvat ajan mukana. Tämän geometrian kaksiulotteinen vastine on taso, jonka pinnalla välimatkat jatkuvasti muuttuvat. Avaruuden tilavuus on ääretön. \ii{Hyperbolisen geometrian} ($k =-1$) tapauksessa avaruus on myös ääretön. Kaksiulotteinen vastine on nyt esimerkiksi satulapinta tai äärettömyyteen levenevä torven pinta. Homogeenisessa ja isotrooppisessa mallissa monet fysikaaliset suureet riippuvat ajasta \ii{mittakaavatekijän} $R(t)$ välityksellä. Esimerkiksi, koska kaikki etäisyydet ovat verrannollisia $R$:ään, galaksi, jonka etäisyys hetkellä $t$ oli $r$, on hetkellä $t_0$ etäisyydellä $$ {R(t_0)\over R(t)} r. $$ Samoin kaikki tilavuudet käyttäytyvät kuten $R^3$. Tästä seuraa, että säilyvän suureen (esimerkiksi massan) tiheys käyttäytyy kuten $R^{-3}$. \fig{4cm}{\pict{l19fried.ps}}{\ii{Friedmannin mallien} kaksiulotteiset vastaavuudet: pallopinta, taso ja äärettömyyteen jatkuva ja levenevä torvi.} \fig{4cm}{\pict{l19dist.ps}}{Avaruuden laajetessa kaikkien galaksien välimatkat kasvavat \ii{mittakaavatekijän} $R$ mukaan: $r'=(R(t_0')/R(t_0))t$.} Voidaan osittaa, että myös etenevän säteilyn \ii{aallonpituus} kasvaa verrannollisena $R$:ään. Jos säteilyn aallonpituus on säteilyn syntyhetkellä $\lambda$, jolloin mittakaavatekijä on $R$, kasvaa sen aallonpituus $\lambda_0$:ksi, kun mittakaavatekijä on kasvanut $R_0$:ksi: $$ {\lambda_0\over\lambda}={R_0\over R}.\eqno\numeq $$ Jos $\lambda_0$ vastaa havaintohetkeä, \ii{punasiirtymä} $z = (\lambda_0-\lambda)/ \lambda$, on $$ 1+z = {R_0\over R} \eqno\numeq $$ eli galaksin punasiirtymä ilmaisee kuinka paljon nykyistä pienempi mittakaavatekijä oli silloin kun valo lähti liikkeelle. Esimerkiksi kvasaarista, jolla $z = 1$, valo lähti aikana, jolloin etäisyydet olivat puolet nykyisestä. Pienillä punasiirtymän arvoilla yhtälö (19.7) lähestyy tavanomaisen Hubblen lain muotoa. Tämä nähdään seuraavasti. Kun $z$ on pieni, ei $R$ ole ehtinyt muuttua juuri lainkaan sinä aikana, jonka valo on tarvinnut matkatessaan galaksista Maahan, ja kyseinen pieni muutos on varsin tarkasti verrannollinen matka-aikaan $t$. Matka-aika $t \approx r/c$, missä $r$ on galaksin etäisyys, joten $z \propto r$. Siis punasiirtymä on verrannollinen etäisyyteen, mikä on \ii{Hubblen laki}. Verrannollisuuskerroin voidaan kirjoittaa muotoon $H/c$, jolloin $$ z = H {r\over c}. \eqno\numeq $$ Mikäli tähän sijoitetaan tutumpi Hubblen lain muoto $v = Hr$, saadaan punasiirtymälle klassinen \ii{Dopplerin siirtymän} lauseke $z = v/c$. Punasiirtymän olennainen merkitys ilmenee kuitenkin yhtälöstä \llasteq. Maailmankaikkeuden laajetessa myös \ii{taustasäteilyn} fotonit kokevat punasiirtymän. Fotonin energia on kääntäen verrannollinen sen aallonpituuteen $\lambda$, ja käyttäytyy näin ollen kuten $R^{-1}$. Voidaan osoittaa, että fotonien lukumäärä säilyy, joten niiden tiheys pienenee kuten $R^{-3}$. Yhdistämällä nämä kaksi tulosta todetaan, että \ii{taustasäteilyn} \ii{energiatiheys} käyttäytyy kuten $R^{-4}$. Toisaalta \ii{mustan kappaleen säteilyn} energiatiheys vaihtelee kuten $T^4$, missä $T$ on lämpötila. Näin ollen kosmisen taustasäteilyn lämpötilan tulisi käyttäytyä kuten $R^{-1}$. Tällöin mustan kappaleen spektri säilyttää myös muotonsa, koska tämä riippuu vain suureesta $T \lambda$, joka on silloin vakio. \section{Friedmannin mallit} \noindent Edellisen jakson tulokset ovat voimassa missä tahansa homogeenisessa ja isotrooppisessa maailmankaikkeuden mallissa. Mittakaavatekijän $R(t)$ aikariippuvuuden määrittämiseksi on pakko olettaa jokin gravitaatioteoria. Vuonna 1917 \ii{Albert Einstein} esitti \ii{suhteellisuusteoriaansa} perustuen mallinsa, jossa maailmankaikkeus oli äärellisen kokoinen, geometrialtaan säännöllinen (pallomainen avaruus) eikä sisältänyt reunaa. Tämä malli noudatti kosmologista periaatetta ja oli isotrooppinen ja homogeeninen. Lisäksi se oli staattinen: maailman koko ei muuttunut. Staattisen mallin löytämiseksi Einsteinin oli pakko lisätä suhteellisuusteorian yhtälöihin kosmologinen termi, joka kuvaa hiukkasten välistä poistovoimaa. Tämän termin suuruutta mittaa \i{kosmologinen vakio} $\Lambda$. Kosmologinen vakio teki mahdolliseksi staattisen, levossa olevan maailmanmallin. Einsteinin esittäessä mallinsa ei vielä tunnettu galaksien punasiirtymiä, ja staattisen mallin olettaminen oli luontevaa. Maailmankaikkeuden laajenemisen löytämisen jälkeen tämä argumentti kosmologisen vakion puolesta hävisi, mutta kosmologisen termin olemassaolosta keskustellaan edelleen. Einstein itse sanoi sitä jälkeenpäin "elämänsä suurimmaksi möhläykseksi". \iii{Georges Lemaitre} Pietarilainen fyysikko \i{Alexander Friedmann} ja hänestä riippumatta myöhemmin belgialainen {\sl Georges Lema\accent94{\kern-4pt\char'020}tre} tutkivat Einsteinin yhtälöiden ratkaisuja siinä tapauksessa, että $\Lambda = 0$. Tällöin ovat mahdollisia vain dynaamiset, laajenevat tai supistuvat maailmanmallit. Friedmannin laajenevat mallit ennustavat \ii{punasiirtymän} ja \ii{Hubblen lain}. \topinsert \table{\ii{Friedmannin mallit}.} \tableb{#\h&\q#\h&\q#\h&\q#\h&\q#\h} {malli &tilavuus &tiheys &geometria &kehitys} {suljettu malli &äärellinen&$\rho > \rho_{\rm c}$&elliptinen &laajeneminen\cr & & & &maksimikokoon,\cr & & & &supistuminen\cr Einstein--de Sitter&ääretön&$\rho = \rho_{\rm c}$&euklidinen&ikuisesti\cr & & & &laajeneva\cr avoin malli &ääretön &$\rho < \rho_{\rm c}$&hyperbolinen&ikuisesti\cr & & & &laajeneva\cr } \endinsert Friedmannin mallien laajenemiskäyttäytymistä ei tässä johdeta yleisen suhteellisuusteorian avulla. On mielenkiintoista, että pelkästään Newtonin mekaniikan avulla voidaan johtaa laajenemiskäyttäytymisen kolme eri lajia ja laajenemisen riippuvuus ajasta, ja päädytään täsmälleen samoihin tuloksiin kuin suhteellisuusteoriassa! \leftfig{6.5cm}{0cm}{7cm}{\pict{l19k.ps}}{ \ii{Mitta\-kaa\-va\-te\-kijä} $R(t)$:n käyttäytyminen ajan funktiona $k$:n eri arvoilla. Kuvassa on oletettu että \ii{kosmologinen vakio} $\Lambda = 0$.} Laajenemisen pääpiirteet johdetaan seuraavassa yksinkertaisesta energiatarkastelusta. Yksityiskohtainen käsittely löytyy laatikosta 19.2. Kuvitellaan maailmankaikkeudesta rajatuksi pieni pallomainen osa, joka sisältää laajenemisliikkeessä olevia galakseja ja joka siten laajenee itsekin. Sekä Newtonin mekaniikassa että yleisessä suhteellisuusteoriassa pallosymmetrisessä ainejakaumassa hiukkaseen vaikuttaa pelkästään massa, joka sijaitsee symmetriakeskus keskipisteenä ja hiukkasta sivuten piirretyn pallon sisällä. Tarkastellaan tällaisen pallon pinnalla olevan $m$-massaisen galaksin liikettä. \ii{Hubblen lain} mukaan galaksin nopeus pallon pinnalla on $v = Hr$, joten sen liike-energia on $$ T = {1\over 2} mH^2r^2. \eqno\numeq $$ Potentiaalienergia $M$-massaisen pallon pinnalla on $U = - GMm/r$, joten kokonaisenergia on $$ E= T+ U={1\over2}mH^2r^2-{GMm \over r}, \eqno\numeq $$ joka säilyy vakiona. Mikäli $E \ge 0$, kappale voi edetä äärettömän kauas. Rajatapauksessa $E = 0$ voidaan johtaa lauseke \ii{kriittiselle tiheydelle} $\rho_{\rm c}$: $$\eqalignno{ E &= {1\over 2} mH^2r^2 - {GMm\over r}\cr &= {1\over 2} mH^2r^2-Gm {4\pi\over 3}{r^3\rho_{\rm c}\over r}\cr &= mr^2 \left({1\over 2} H^2-{4\over 3}\pi G\rho_{\rm c}\right) = 0, &\numeqa\cr } $$ josta $$ \rho_{\rm c} = {3H^2\over 8\pi G}.\eqno\numeq $$ Tilanne on sama kuin singottaessa kappaletta ylöspäin jonkin taivaankappaleen pinnalta: jos lähtönopeus on liian pieni, kappale kohoaa maksimikorkeudelle ja putoaa takaisin. Vasta riittävä lähtönopeus (=\ii{pakonopeus}) takaa, että kappale etääntyy äärettömän kauas. Tapaus $E=0$ vastaa ikuisesti laajenevaa euklidista \ii{Friedmannin mallia}, \ii{Einsteinin-de Sitterin mallia} ($k = 0$). Mikäli tiheys on suurempi kuin kriittinen rajatiheys, $\rho > \rho_{\rm c}$ kappaleen nopeus hidastuu vihdoin nollaksi ja se tipahtaa takaisin ja koko pallo kutistuu kokoon. Tämä vastaa Friedmannin äärellistä, suljettua mallia ($k = 1$). Jos $\rho < \rho_{\rm c}$, päädytään ikuisesti laajenevan hyperbolisen avaruuden tapaukseen. Kuva 19.12 luonnehtii mittakaavatekijän $R$ käyttäytymistä näissä kolmessa eri tapauksessa. Laatikossa 19.2 johdetaan differentiaaliyhtälö $R$:lle. Nämä kolme mallia ovat maailmankaikkeuden \ii{standardimallit}. Ne ovat yksinkertaisimmat relativistiset kosmologiset mallit, kun $\Lambda = 0$. Muita Einsteinin teoriaan perustuvia malleja on esitetty, mutta toistaiseksi ei ole ilmennyt havaintoja, jotka pakottaisivat luopumaan standardimalleista. Newtonin mekaniikan mukainen ongelman yksinkertainen käsittely on mahdollinen, koska pienissä avaruuden alueissa Newtonin mekaniikka pätee likimääräisesti. On kuitenkin syytä muistaa, että Newtonin mekaniikkaan ei sisälly Friedmannin mallien geometrisia ominaisuuksia (esimerkiksi äärellinen, ääretön), vaikka saaduissa yhtälöissä esiintyykin suure, joka voidaan samaistaa Friedmannin mallien metriikassa esiintyvän kertoimen $k$ kanssa. Maailmankaikkeuden geometrian ymmärtäminen edellyttää yleistä suhteellisuusteoriaa. Edellä verrattiin maailmankaikkeuden laajenemiskäyttäytymistä taivaankappaleen sinkoamiseen ylös toisen kappaleen pinnalta. Samoin kuin lentoradan määräävät alkunopeus ja systeemin massa, Friedmannin mallin määräävät näitä vastaavat kaksi parametria, \ii{Hubblen vakio} ja massatiheys. Muut laajenemista kuvaavat suureet voidaan ilmaista näiden avulla. Tarkastellaan kahta pistettä, joiden keskinäinen etäisyys hetkellä $t$ on $r$ ja suhteellinen nopeus $v$. Jos niiden välinen etäisyys hetkellä $t_0$ on $r_0$, niin $$r = {R(t)\over R(t_0)} r_0 \quad {\rm ja} \quad v= \dot r = {\dot R(t)\over R(t_0)} r_0. \eqno\numeq $$ Näitä yhtälöitä käyttäen \ii{Hubblen vakio} voidaan ilmaista \ii{mittakaavatekijän} avulla: $$ H = {v\over r} = {\dot R(t)\over R(t)}. \eqno\numeq $$ Laajenemisen hidastumista kuvaavana suureena käytetään \i{hidastuvuusparametria} $q$, joka määritellään seuraavasti: $$ q= -{R \ddot R\over \dot R^2}.\eqno\numeq $$ Hidastuvuusparametri kuvaa oleellisesti laajenemisnopeuden muutosta $\ddot R$. Hieman erikoinen lauseke johtuu siitä, että näin $q$ on saatu dimensiottomaksi, siis riippumattomaksi ajan ja pituuden yksiköiden valinnasta. Myös hidastuvuusparametrin pitää olla lausuttavissa Hubblen vakion ja tiheyden avulla. Tämä yhteys saadaan sijoittamalla $H$:n määritelmä sekä $\ddot R$:n lauseke laatikon 19.2 yhtälöstä (4) $q$:n määritelmään. Tulokseksi saadaan $$ q={4\pi G\over 3}{\rho_0 R_0^3\over R^3H^2}.\eqno\numeq $$ Maailmankaikkeuden tiheys on tapana ilmaista suhteessa kriittiseen tiheyteen \i{tiheysparametrin} $\Omega = \rho / \rho_{\rm c}$ avulla, jolloin $\Omega=1$ vastaa \ii{Einsteinin-de Sitterin} mallia. Tällöin siis $$ \Omega = {8\pi G\over 3} {\rho_0 R_0^3\over R^3H^2},\eqno\numeq $$ ja $\Omega$:n ja $q$:n välillä on yksinkertainen yhteys $$ \Omega = 2q. $$ Hidastuvuusparametrin arvo $q=1/2$ vastaa siis kriittistä tiheyttä $\Omega = 1$. Koska tiheys ja hidastuvuus voidaan havaita toisistaan riippumatta, tämä yhtälö antaa periaatteessa testin yleisen suhteellisuusteorian pätevyydelle. \section{Kosmologiset testit} \noindent Keskeisiä kosmologisia ongelmia on kysymys siitä, minkä tyyppinen \ii{Friedmannin malli} (äärellinen suljettu vaiko ääretön avoin) kuvaa parhaiten maailmankaikkeutta. Eri mallit antavat erilaisia ennusteita havainnoille. Toistaiseksi ei ole kyetty varmuudella havainnoista päättelemään maailmankaikkeuden geometriaa. Eräitä testimahdollisuuksia kuvaillaan seuraavassa. \noindent {\bf\ii{Kriittinen tiheys}.} Mikäli keskitiheys $\rho$ on suurempi kuin kriittinen tiheys $\rho_{\rm c}$, maailma on äärellinen. Hubblen vakion $H$ arvolla $100\ \kmsmpc$ on $\rho_{\rm c} = 1.9 \times 10^{-26}\ {\rm kg/m}^3$, mikä vastaa suunnilleen kymmentä vetyatomia kuutiometrissä. Yksittäisten galaksien massojen määritykset ovat toistaiseksi johtaneet $\rho_{\rm c}$:tä huomattavasti pienempiin tiheysarvioihin. Näin saatu tiheys on alaraja, koska se ei sisällä galaksien reunaosien ja galaksienvälisen avaruuden osuutta. \ii{Galaksijoukkojen} massasta huomattava osa voi olla pimeätä, näkymätöntä massaa, joka nostaisi tiheyttä lähemmäksi kriittistä arvoa. Kun käytetään galaksijoukoille \ii{viriaaliteoreemasta} johdettuja massoja, saadaan $\Omega$:n arvoksi 0.1. Galaksien liikkeistä vielä laajemmilla alueilla on saatu tätäkin suurempia arvoja 0.2--0.4. Todellinen arvo voi olla sitäkin suurempi. \noindent {\bf\ii{Magnitudi-punasiirtymä -testi}.} Vaikka pienillä punasiirtymän arvoilla kaikki Friedmannin mallit ennustavat, että standardikynttilät noudattavat \ii{Hubblen diagrammassa} riippuvuutta $m \propto 5 \lg z$, suurilla punasiirtymillä mallien ennusteissa on eroja, jotka aiheutuvat hidastuvuudesta. Tämän testin yhteydessä puhutaankin yleensä hidastuvuusparametrin $q$ määrittämisestä. Samoilla punasiirtymien arvoilla äärelliset mallit ennustavat galaksien näkyvän kirkkaampina kuin äärettömissä malleissa. Parhaimpien standardikynttilöiden, galaksijoukkojen kirkkaimpien galaksien, näkyvyysalueella ($z < 1$) nämä erot ovat kuitenkin vielä niin pieniä, että tätä kautta ei ole saatu luotettavia tuloksia. Ongelmana on myös galaksien kirkkauksien mahdollinen kehittyminen, koska testissä joudutaan katsomaan ajassa taaksepäin miljardeja vuosia. Kvasaareja havaitaan paljon suuremmilla punasiirtymän arvoilla, mutta standardikynttilöiden puuttuminen on ollut niiden kohdalla ongelmana. \noindent {\bf\ii{Kulmaläpimitta-punasiirtymä-testi}.} Magnitudi-punasiirtymä-testin rinnalla on käytetty kulmaläpimitta-punasiirtymä-testiä. Asian ymmärtämiseksi tarkastellaan, miten jonkin standardipallon kulmaläpimitta $\theta$ muuttuu etäisyyden mukana staattisissa, eri geometriaa olevissa malleissa. Euklidisessa geometriassa kulmaläpimitta on kääntäen verrannollinen etäisyyteen. Elliptisessä geometriassa riippuvuus on loivempi ($\theta$ pienenee hitaammin kuin $1/r$) ja suurilla etäisyyksillä $\theta$ alkaa jopa taas kasvaa. Tämä voidaan ymmärtää ajattelemalla pallon pintaa. Navalla olevan tarkkailijan mielestä pintaan liimatut samankokoiset pisteet ovat pienimpiä päiväntasaajalla. Sitä kauempana niiden koko näyttää taas suurenevan, koska kulmaläpimitta tarkoittaa kahden näkösäteen eli isoympyrän välistä kulmaa. Hyperbolisessa avaruudessa kulman $\theta$ riippuvuus etäisyydestä on vastaavasti jyrkempi kuin euklidisessa. Laajenevassa, äärellisessä maailmankaikkeudessa kulmaläpimitan pitäisi kääntyä nousuun punasiirtymän $z = 1$ tienoilla. Tätä on yritetty tutkia käyttämällä testikohteina galaksien ja kvasaarien yhteydessä esiintyvien radiolähteiden läpimittoja. Kääntymistä ei ole varmuudella havaittu, mutta ei tiedetä johtuuko tämä radiolähteiden kehittymisestä, havaintoaineiston kokoamistavasta vaiko maailman geometriasta. Pienemmillä punasiirtymillä on kokeiltu galaksijoukkojen läpimittojen käyttöä testissä, mutta myöskin epävarmoin tuloksin. \noindent {\bf\ii{Alkuaineiden runsaudet} vanhimmissa kohteissa.} Standardimallit ennustavat maailmankaikkeuden alkuräjähdyksen jälkeen syntyneen \ii{heliumia} noin 25 \% massasta. Tämä arvio ei riipu mallin geometriasta, eikä sitä siten voi käyttää oikean mallin valitsemiseen. Sen sijaan heliumin muodostumisessa tähteeksi jääneen \ii{deuteriumin} eli raskaan vedyn määrä riippuu voimakkaasti mallista. Aivan säteilyn valtakauden alussa syntyneet \ii{deuteronit} yhtyivät miltei kaikki heliumytimiksi. Mitä tiheämmässä deuteroneja oli, sitä todennäköisemmin deuteroni törmäsi toiseen ja muodosti heliumytimen ja sitä vähemmän deuteroneja jäi jäljelle. Näin ollen pieni \ii{deuteriumin} runsaus viittaa suureen maailmankaikkeuden tiheyteen. Deuteriumin lisäksi myös $^3$He:n ja $^7$Li:n ytimiä syntyi alkuräjähdyksessä. Havaittujen runsauksien tulkinta on vaikea, koska ne ovat muuttuneet myöhemmissä ydinreaktioissa. Tämänhetkiset tulokset viittaavat siihen, että $\Omega = 0.01$ tällä hetkellä. Tämä arvo sisältää vain \ii{baryonien} (protonien ja neutronien) muodossa olevan massan. Koska \ii{galaksijoukkojen} viriaalimassoista saatu $\Omega$:n arvo on ainakin 0.1--0.2, tämä tulos on antanut tukea malleille, jossa pääosa maailmankaikkeuden aineesta ei koostu normaaleista baryoneista. \noindent {\bf Iät.} Friedmannin mallien ikiä voidaan verrata taivaankappaleiden laskettuihin ikiin, jolloin saatetaan onnistua sulkemaan pois osa malleista. Jos Friedmannin mallissa \ii{Hubblen vakion} nykyinen arvo on $H_0$ ja \ii{tiheysparametri} $\Omega_0$, kyseisen \ii{maailmankaikkeuden ikä} on $$ t_0 =f(\Omega_0)/H_0,\eqno\numeq $$ missä funktio $f(\Omega_0) < 1$ on tunnettu. \ii{Kriittisen tiheyden} tapauksessa ($\Omega_0 = 1$) $f(\Omega_0$) saa arvon $2/3$. Esimerkiksi arvolla $H_0 = 75\ \kmsmpc$ saataisiin iäksi $t_0 = 2/(3 H_0) \approx 9 \times 10^9$ v. Mitä suurempi $\Omega_0$ on, sitä pienempiä ovat $f(\Omega_0)$ ja ikä $t_0$. Jos tiedetään, että on taivaankappaleita, jotka ovat vanhempia kuin $t_{\rm k}$, ainoastaan sellaiset mallit tulevat kyseeseen, joilla $t_0 > t_{\rm k}$ eli $$ f(\Omega_0) > t_k H_0. \eqno\numeq $$ Tällä tavalla olisi periaatteessa mahdollista sulkea pois mallit, jotka ovat tiheämpiä kuin yhtälöstä $f(\Omega_0) = t_{\rm k} H_0$ saatava tiheys $\Omega_0$. Ongelmana tässä testissä on kuitenkin $H_0$:n ja $t_{\rm k}$:n huonosti tunnetut arvot, eikä menetelmä ole toistaiseksi antanut tietoa $\Omega$:sta. Varsinkin, jos viimeisimmät tulokset, joiden mukaan $H_0 \approx 75\ \kmsmpc$ (laatikko 19.1), vahvistuvat, maailmankaikkeuden laskettua ikää ja vanhimpien tähtien ikiä on vaikea sovittaa yhteen. Tämä voi tarkoittaa joko sitä, että \ii{Friedmannin malleja} pitäisi modifioida (esimerkiksi olettamalla \ii{kosmologinen vakio}), tai sitä että tähtien teoreettisesti lasketut iät ovat jostakin syystä liian suuria. \noindent {\bf\ii{Pimeän aineen} ongelma.} Galaksien nopeuksista ja alkuaineiden runsauksista johdetut tiheyden arvot viittaavat äärettömän maailmankaikkeuden suuntaan. Nämä arvot ovat kuitenkin joka tapauksessa suurempia kuin galaksien havaitusta valosta johdetun näkyvän aineen tiheys. Maailmankaikkeuden massasta huomattavan osan täytyy siksi olla jossakin näkymättömässä muodossa. Kysymystä tämän aineen luonteesta sanotaan pimeän aineen ongelmaksi. Galaksien nopeuksien ja alkuaineiden runsauksien antamat arvot maailmankaikkeuden tiheydelle ovat vain vaikeasti yhteensovitettavissa. Galaksien laajamittaisista liikkeistä on saatu $\Omega_0 \geq 0.2$, kun taas nukleosynteesilaskut suosivat tätä selvästi pienempiä arvoja. Eräs ratkaisu tähän vaikeuteen on, että nämä kaksi menetelmää mittaavat eri massoja: galaksien liikkeet riippuvat kaikesta massasta, mutta alkuaineiden runsaudet vain \ii{baryonien}, protonien ja neutronien, muodossa olevasta. Siksi on ehdotettu, että pimeä aine ja näin myös suurin osa maailmankaikkeuden massasta ei koostu baryoneista. Yksi mahdollisuus on, että \ii{neutriinoilla} olisi pieni massa (noin $1/10000$ elektronin massasta). Maailmankaikkeuden alkuräjähdyksen yhteydessä on syntynyt suuria määriä neutriinoja, jotka nykyään muodostavat kaikkialle tunkeutuvan neutriinomeren. Pienestä massasta huolimatta neutriinojen suuri lukumäärä merkitsisi, että neutriinomeri hallitsisi maailmankaikkeuden massaa ja todennäköisesti kohottaisi tiheyden yli kriittisen arvon. Neutriinon massan määritys laboratoriossa on kuitenkin hyvin vaikea tehtävä ja väitetyt massan mittaukset kaipaavat vielä vahvistusta. On myös mahdollista, että huomattavin osa maailmankaikkeuden massasta koostuu vielä tuntemattomista suhteellisen suurimassaisista hiukkasista. Neutriinoista poiketen näiden hiukkasten nopeudet olisivat ei-relativistisia, pienempiä kuin valonnopeus. Tätä ainetta sanotaan kylmäksi pimeäksi aineeksi, ja siihen perustuvat mallit ovat ollet suhteellisen menestyksekkäitä. \null\vvv \boxi{Kolme punasiirtymää}{19} \noindent Kun etäisen galaksin spektristä mitataan \ii{punasiirtymä}, saadaan tulokseksi kolmen erilaisen mekanismin aiheuttaman aallonpituuden muutosten yhteisvaikutus. Ensinnäkin havaitsijalla on \ii{pekuliaarinopeus} Hubblen lain mukaiseen säännölliseen laajenemiseen nähden: maapallo kiertää Aurinkoa, Aurinko Linnunradan keskusta, ja Linnunradalla ja paikallisella galaksiryhmällä on läheisen Virgon galaksijoukon gravitaation vaikutuksesta pekuliaarinopeus ko. joukkoa kohti. Etäisestä galaksista saapuva valo ei siis kohtaakaan levossa olevaa mittalaitetta, vaan tällä on resultanttinopeus, jonka vaikutus tulisi poistaa, jotta saataisiin varsinainen Hubblen nopeus. Kyseessä on \ii{Dopplerin ilmiö}. Pekuliaarinopeudet ovat yleensä paljon pienempiä kuin valon nopeus, jolloin Dopplerin ilmiön aiheuttama siirtymä on $$ z_{\rm D} = v/c $$ Suurilla nopeuksilla tulee käyttää erikoisen suhteellisuusteorian kaavaa $$ z_{\rm D} = \sqrt{{c+v \over c-v}} -1. $$ \ii{Hubblen laissa} esiintyvä \i{punasiirtymä} on varsinainen laajenemispunasiirtymä (\ii{kosmologinen punasiirtymä}) $z_{\rm c}$. Se riippuu ainoastaan \ii{mittakaavatekijän} arvoista valon lähtiessä ja sitä mitattaessa, $R$ ja $R_0$: $$ z_{\rm c} = {R_0\over R} -1. $$ Kolmas punasiirtymälaji on \ii{gravitaatiopunasiirtymä} $z_{\rm g}$, joka yleisen suhteellisuusteorian mukaisesti syntyy valon kulkiessa gravitaatiokentässä. Esimerkiksi $R$-säteisen ja $M$-massaisen tähden pinnalta lähtevä valo punasiirtyy määrän $$ z_{\rm g} = {1 \over \sqrt{1-R_{\rm S}/R}} -1, $$ missä $R_{\rm S} = 2 GM/c^2$ on tähden \ii{Schwarzschildin säde}. Normaalisti gravitaatiopunasiirtymän vaikutus galaksin mitatussa punasiirtymässä on merkityksetön. Punasiirtymien yhteisvaikutus voidaan laskea seuraavasti. Jos säteilyn laboratorioaallonpituus $\lambda_0$ muuttuu kahden punasiirtymän $z_1$ ja $z_2$ vaikutuksesta, niin että $$ z_1 = {\lambda_1 - \lambda_0 \over \lambda_0} \quad \hbox{ja} \quad z_2 = {\lambda_2 - \lambda_1 \over \lambda_1}, $$ \page \boxicont{6} \noindent on kokonaispunasiirtymä $$ z = {\lambda_2 - \lambda_0 \over \lambda_0} = {\lambda_2 \over \lambda_0} - 1 = {\lambda_2 \over \lambda_1} {\lambda_1 \over \lambda_0}-1, $$ eli $$ (1+z) = (1+z_1)(1+z_2). $$ Vastaavasti kaikkien kolmen punasiirtymän $z_{\rm d}$, $z_{\rm c}$ ja $z_{\rm g}$ yhteisvaikutuksena havaittava punasiirtymä $z$ saadaan yhtälöstä $$ 1 + z = (1 + z_{\rm D}) (1 + z_{\rm c}) (1 + z_{\rm g}). $$ \ebox \section{Maailmankaikkeuden historia} \noindent Edellä on nähty miten aineen ja säteilyn tiheys ja lämpötila voidaan laskea \ii{mittakaavatekijän} $R$ funktioina. Kun $R$ tunnetaan ajan funktiona, on myös mahdollista laskea miten nämä suureet muuttuvat ajassa. Kun mennään ajassa taaksepäin $R$ pienenee jatkuvasti. Koska $\rho \propto R^{-3}$, $T \propto R^{-1}$, tiheys ja lämpötila aivan alussa olivat niin suunnattoman suuria, että silloin tapahtuvista fysikaalisista prosesseista voidaan esittää vain arvailuja. Maailmankaikkeuden perustavimpia ominaisuuksia on kuitenkin yritetty ymmärtää modernien hiukkasfysiikan teorioiden avulla. Esimerkiksi, huomattavista \ii{antimaterian} määristä maailmankaikkeudessa ei ole löytynyt merkkejä. Jostakin syystä ainehiukkasten lukumäärä on ollut tekijällä 1.000000001 suurempi kuin antiainehiukkasten. Tämän \ii{symmetriarikon} seurauksena, kun $99.9999999\,\%$ \ii{hadroneista} annihiloitui, jäljelle jäi $10^{-7}\,\%$, joista syntyivät myöhemmin galaksit, tähdet ja kaikki muu. On spekuloitu, että symmetriarikko syntyi $10^{-35}$~s alun jälkeen tapahtuneissa hiukkasreaktioissa. \fig{7.5cm}{\pict{l19alku.ps}}{Säteilyn ja aineen \ii{energiatiheydet} pienenevät maailmankaikkeuden laajetessa. Ensimmäisen kymmenestuhannesosasekunnin kuluttua oli valmiiksi syntynyt aineen ydinten rakennusaine. Sekunnin kuluttua aineen tarvitsemat elektronit olivat eronneet säteilystä. Loppuaika onkin käytetty maailmankaikkeuden rakenteen hienosäätöön ja viimeistelyyn.} Perustavanlaatuisten symmetrioiden rikkoutuminen maailmankaikkeuden alkuhetkinä saattaa johtaa maailmankaikkeuden \i{inflaatioon}. Symmetrian rikkoutumisen seurauksena tärkein energiatiheyden muoto saattaa olla kvanttikentän nollapiste-energia. Tällä energiatiheydellä on samanlainen vaikutus kuin kosmologisella vakiolla, ja se johtaa inflaatioon, maailmankaikkeuden voimakkaasti kiihtyvään laajenemiseen. Eräs seuraus inflaatiosta on, että maailmankaikkeuden täytyy olla hyvin lähellä kriittistä \ii{Einsteinin--de~Sitterin mallia}. Tämä malli on monessa suhteessa erikoisasemassa. Esimerkiksi, jos $\Omega =1$ tällä hetkellä, sillä on aina ollut tämä arvo, kun sen sijaan poikkeamat siitä kasvavat nopeasti maailmankaikkeuden laajetessa. Se, että havaittu $\Omega_0$ ei poikkea kovin paljon ykkösestä, selittyisi luontevimmin, jos $\Omega$ on aina ollut yksi. Siksi monet astrofyysikot ovat lähteneet siitä, että $\Omega$:n täytyy olla yksi. Inflaatiomallit antaisivat tälle selityksen. Myös maailmankaikkeuden homogeenisuus ja isotropia voivat olla inflaation seurauksia. Laajenemisen jatkuessa maailmankaikkeuden tila muuttui sellaiseksi, että tunnettuja fysiikan lakeja voidaan soveltaa. Alkuaikojen tiheissä olosuhteissa säteilyn fotonit ja massahiukkaset muuttuivat jatkuvasti toisikseen: riittävän energisten fotonien törmättyä keskenään niistä syntyi hiukkas-antihiukkaspari ja hiukkaset ja antihiukkaset puolestaan törmäilivät jatkuvasti toisiinsa annihiloituen takaisin säteilyksi. Maailmankaikkeuden jäähtyessä säteilyn fotonien energiat pienenivät eivätkä enää riittäneet pitämään yllä hiukkas-antihiukkasparien tasapainoa. Puhutaankin erimassaisten hiukkasten kynnyslämpötiloista, joiden alittuessa kyseisiä hiukkasia ei enää päässyt syntymään. Esimerkiksi ennen ajankohtaa $t \approx 10^{-4}$ s lämpötila oli tarpeeksi suuri ($T > 10^{12}$ K) \ii{hadronien} synnyttämiseksi. Hadroneiksi sanotaan raskaita alkeishiukkasia protoneja, neutroneja ja mesoneja. Siksi nykyiset atomiytimien rakennusosaset, protonit ja neutronit ovat peräisin ajanjaksolta $10^{-8}$--$10^{-4}$ s, jota sanotaan hadronien ajaksi. \noindent {\bf\ii{Leptonien aika}.} Aikaväliä $10^{-4}$ s -- 1 s kutsutaan leptonien ajaksi. Tuolloin fotonien energia riitti sellaisten keveiden hiukkasten kuten elektroni-positroniparien synnyttämiseen. Suurin osa pareista annihiloitui takaisin säteilyksi, mutta antimateria-materia-epäsymmetrian vuoksi osa jäi nykyisen aineen rakennusosiksi. Leptonien aikakaudella tapahtui neutriinojen irtikytkeytyminen. Tähän asti \ii{neutriinot} olivat osallisina reaktioissa termisessä tasapainotilassa. Kun aineen tiheys ja lämpötila laskivat, neutriinojen vuorovaikutus muiden hiukkasten kanssa heikkeni, ja suunnattomat määrät neutriinoja jäi vaeltamaan laajenevaan avaruuteen ilman juuri mitään vuorovaikutusta muiden hiukkasten tai säteilyn kanssa. Lasketaan, että neutriinoja on nykyään kuutiosenttimetrissä joka hetki noin 600 kappaletta, mutta niiden havaitseminen on äärimmäisen vaikeata vähäisen vuorovaikutuksen takia. Neutriinojen kytkeydyttyä irti myöskään protonit ja neutronit eivät enää pysyneet tasapainossa, vaan vapaiden neutronien osuus pieneni koko ajan niiden hajotessa protoneiksi ja elektroneiksi. \noindent {\bf\ii{Säteilyn aika}.} Leptonien ajan jälkeen, noin 1 s maailman alusta, tärkein energian muoto oli sähkömagneettinen säteily ja sitä voidaan siksi kutsua säteilyn ajaksi. Tämän ajanjakson alussa lämpötila on noin $10^{10}$ K ja sen lopussa, noin 1 miljoonan vuoden kuluttua, oli lämpötila laskenut muutamaan tuhanteen asteeseen ja säteilyn energiatiheys oli laskenut yhtä alhaiseksi kuin aineen energiatiheys. Aivan säteilyn ajan alussa, muutamien satojen sekuntien kuluessa, tapahtui \ii{heliumin synty}. Lähtökohtana olivat hadronien aikakaudelta peräisin olleet protonit ja neutronit. Protoni ja neutroni yhtyvät helposti deuteroniksi, mutta säteilyn ajan alussa \ii{deuteronit} myös helposti hajosivat takaisin osiinsa. Noin 100 sekunnin kuluttua lämpötila oli laskenut niin alhaiseksi (noin $10^9$ K), että deuteronit säilyivät ja kaikki protonit ja neutronit voivat yhtyä deuteroneiksi. Korkeassa lämpötilassa deuteronit reagoivat keskenään ja muodostivat heliumytimiä. Laskujen perusteella voidaan päätellä, että hetkellä $t = 100$ s protonien ja neutronien lukumäärien suhde, joka oli jatkuvasti muuttunut neutronien hajotessa, oli 14:2. Siis 16 ydinhiukkasesta 2 protonia ja 2 neutronia kuluu yhden heliumytimen valmistukseen. Näin ollen $4/16 = 25 \%$ massasta muuttui heliumytimiksi. Näin saatu osuus on lähellä nykyisin mitattua kosmista heliumin runsautta. Vain isotooppeja $^2$H, $^3$He, $^4$He ja $^7$Li syntyi merkittävästi alkuräjähdyksen ydinreaktioissa. Raskaammat alkuaineet, jotka ovat ratkaisevia esimerkiksi elämän synnylle, ovat syntyneet myöhemmissä prosesseissa tähtien sisällä, supernovien räjähdyksissä ja ehkä galaksien ytimien suur\-energisissä ilmiöissä. \noindent {\bf Säteilyn irtikytkeytyminen. Aineen valtakausi.} Niin kuin on nähty, säteilyn massatiheys (kaavan $E = mc^2$ mukaan) pienenee kuten $R^{-4}$, eli nopeammin kuin normaalia (ei-relativistista) ainetta kuvaava $R^{-3}$ -riippuvuus. Säteilyn ajan lopussa se tuli pienemmäksi kuin normaalin aineen massatiheys, ja on nyt aivan merkityksetön tähän verrattuna. Säteilyn ajan loppuna voidaan pitää säteilyn irtikytkeytymistä aineesta. Tämä tapahtui, kun lämpötila oli laskenut niin pieneksi, että elektronit ja protonit yhdistyivät vetyatomeiksi. Sen jälkeen säteily pystyi liikkumaan vapaasti maailmankaikkeudessa. Alkoi pitkä aineen valtakausi, joka toi mukanaan galaksit, tähdet ja planeetat ja vihdoin synnytti myös elämän. Kiintoisaa on, että irtikytkeytymisen ajankohta sattuu melko lähelle rajaviivaa, joka erottaa toisistaan säteilyn ja aineen valtakaudet. Tämä korostaa maailmankaikkeuden historian (noin 1 sekunnin iästä eteenpäin) jakautumista kahteen hyvin erilaiseen osaan. \noindent {\bf\ii{Galaksien synty}.} Kun mennään ajassa taaksepäin, pienenee mittakaavatekijä $R(t)$ ja samalla kaikki etäisyydet. Niinpä galaksit ja galaksijoukot ovat olleet lähempänä toisiaan. Jos esimerkiksi siirrytään ajassa taaksepäin punasiirtymän arvoon $z = 101$ ($R({\rm nyt})/R(t) = 100$), galaksien on täytynyt olla aivan vieri vieressä, mikäli niitä nykyisessä muodossaan vielä oli olemassakaan. Koska tähtien uskotaan syntyneen galaksien jälkeen, kaikkien havaittujen tähtitieteellisten kohteiden on täytynyt syntyä tätä myöhemmin. Galaksien uskotaan syntyneen pienistä kaasutihentymistä niiden luhistuessa oman painovoimansa takia. Ehto luhistumiselle on, että kaasupilven massan täytyy olla suurempi kuin \ii{Jeansin massa} $M_{\rm J}$, joka on $$ M_{\rm J} \approx {P^{3/2} \over G^{3/2}\rho^2}.\eqno\numeq $$ $M_{\rm J}$:lle saadaan suuruusluokka-arvio: $$\eqalignno{ &\hbox{ennen irtikytkeytymistä}\ M_{\rm J} \approx 10^{18} \msun& \numeqa\cr &\hbox{irtikytkeytymisen jälkeen}\ M_{\rm J} \approx 10^5 \msun& \numeqa\cr } $$ Suuri ero johtuu siitä, että kun säteily ja aine olivat vielä termisessä tasapainotilassa ($R_0/R > 1000$), paineeksi $P$ on otettava säteilypaine, joka on paljon suurempi kuin kaasun paine. Säteilyn aiheuttama suuri paine esti tehokkaasti ionisoituneessa kaasussa olevien mahdollisten tihentymien luhistumisen. Vasta irtikytkeytymisen jälkeen avautui mahdollisuus ainetihentymien kehittymiselle galaksien tai galaksijoukkojen esiasteiksi. Ennen irtikytkeytymistä Jeansin massa oli suurempi kuin kaikki tunnetut kosmiset rakenteet, mutta irtikytkeytymisen jälkeen se on samaa luokkaa kuin pallomaisen tähtijoukon massa. Kylmän pimeän aineen teoriassa luhistuminen voi alkaa heti kun aineen tiheys tulee suuremmaksi kuin säteilyn. Galaksien synnystä ei ole vielä olemassa yleisesti hyväksyttyä kokonaiskuvaa, eikä olla varmoja siitä, minkälaiset häiriöt kaasun ja säteilyn jakautumisessa johtivat lopullisten tihentymien syntyyn. Epävarmaa esimerkiksi on, päädyttiinkö alunpitäen galaksien vaiko galaksijoukkojen esiasteisiin. Jälkimmäisessä tapauksessa galaksit olisivat syntyneet vasta suurimassaisten ainepilvien luhistuessa ja murentuessa. Käsitys, että tähtitieteelliset systeemit ovat syntyneet \ii{Jeansin epästabiilisuuden} kautta, on saanut vahvaa tukea \ii{COBE-satelliitin} havaitsemista kosmisen mikroaaltotaustan vaihteluista. Nämä ovat oikean kokoisia, jotta havaitut rakenteet ehtisivät muodostua niistä käytettävissä olevassa ajassa. Näiden epäsäännöllisyyksien alkuperästä voidaan esittää lähinnä vain arvailuja. Niiden täytyy olla peräisin maailmankaikkeuden aikaisimmista vaiheista. \ii{Inflaatiomalleissa} niille voidaan johtaa lausekkeet alkuajan kvantti-ilmiöiden seurauksina. Tämä tarkoittaa sitä, että laskemalla taaksepäin ajassa voidaan havaittujen järjestelmien ominaisuuksista saada tietoa olosuhteista maailmankaikkeuden alkuhetkinä. \section{Maailmankaikkeuden tulevaisuus} \noindent \ii{Standardimallit} antavat kaksi vaihtoehtoa maailmankaikkeuden tulevalle kehitykselle. Avaruus joko jatkaa laajenemistaan ikuisesti tai laajeneminen kääntyy supistumiseksi, kunnes kaikki massa kymmenien miljardien vuosien kuluttua luhistuu takaisin yhteen pisteeseen. Loppuluhistumisen edellä maailmankaikkeus käy läpi samat vaiheet kuin alkuräjähdyksen jälkeen, mutta päinvastaisessa järjestyksessä. Tiheys ja säteilyn lämpötila kasvaa avaruuden supistuessa, kunnes tähdet ja atomit hajoavat kaasuksi. Viimeisen sekunnin murto-osan aikana avaruus on täynnä tiheää hiukkas-säteily-seosta, jonka fysiikkaa ei pystytä ennustamaan. Ei myöskään tiedetä, jatkuuko luhistuminen yhteen pisteeseen asti vai voiko maailmankaikkeus välttää singulariteetin ja aloittaa esimerkiksi uuden laajenemisen. Nykyfysiikka ei kerro paljonkaan enempää, mitä tapahtuu ikuisen laajenemisen mallissa. Tähdillä on neljä mahdollista päätepistettä: \ii{valkea kääpiö}, \ii{neutronitähti}, \ii{musta aukko} tai tähti voi räjähtää hajalle. Noin $10^{11}$ vuoden kuluttua ovat kaikki nykyiset tähdet käyttäneet ydinpolttoaineensa loppuun ja saavuttaneet jonkin yllämainituista lopputiloista. Valkeat kääpiöt jäähtyvät \ii{mustiksi kääpiöiksi} eivätkä enää säteile näkyvää valoa. Osa tähdistä saattaa sinkoutua ulos galaksista, osa kerääntyy yhä tiiviimmäksi joukoksi galaksin keskustaan. Arviolta $10^{27}$ vuoden kuluessa galaksien keskustaan muodostuu kasvavia mustia aukkoja. Myös tiheiden galaksijoukkojen galaksit törmäilevät toisiinsa ja muodostavat massiivisia mustia aukkoja. Mustat aukotkaan eivät ole ikuisia. Kvanttielektrodynamiikan mukaan ainetta voi tunneloitua tapahtumahorisontin ulkopuolelle; mustan aukon sanotaan "höyrystyvän". \i{Hawkingin prosessina} tunnetun ilmiön nopeus on kääntäen verrannollinen aukon massaan ja galaksin massaiselle mustalle aukolle haihtumisaika saattaa olla luokkaa $10^{90}$ vuotta. Tämän ajan kuluessa lähes kaikki mustat aukot ovat kadonneet. Alati laajenevassa avaruudessa on harvassa mustia kääpiöitä, neutronitähtiä ja planeetankokoisia kappaleita. Kosmisen \ii{taustasäteilyn} ja koko maailmankaikkeuden lämpötila on laskenut alle $10^{-20}$ kelvinin. Jo huomattavasti aikaisemmin kehityskulku on saattanut muuttua, jos protonilla on äärellinen elinikä ($10^{31}$ vuotta), kuten on arveltu. Kun ajanjaksot käyvät yhä pitemmiksi, alkaa kvantti-ilmiöiden merkitys kasvaa. Esimerkiksi tunneloitumisen vaikutuksesta mustat kääpiöt voivat luhistua \ii{neutronitähdiksi} ja nämä edelleen \ii{mustiksi aukoiksi}. Tätä tietä kaikki tähdet lopulta luhistuisivat mustiksi aukoiksi ja sitten höyrystyisivät. Tähän tarvitaan aikaa arviolta $10^{10^{26}}$ vuotta! Sen jälkeen on vain pelkkää säteilyä, jonka lämpötila laskee asymptoottisesti kohti absoluuttista nollapistettä. Ajan käsite menettää merkityksensä piirteettömässä avaruudessa. Kuten aiemmin todettiin, ei havaintojen perusteella vielä pystytä sanomaan, kumpi vaihtoehto toteutuu. Voidaan myös kysyä, ovatko kosmologiset teoriat jo niin tukevalla pohjalla, että tällaisia ennusteita ylipäätään voidaan tehdä. Uudet havainnot ja teoreettiset tulokset saattavat johdattaa tutkijat uudenlaiseen kosmologiaan---liikutaanhan sekä havaintojen että teorian osalta vielä tiedon äärialueilla.