Taivaanmekaniikan kehitys

Newtonin jälkeisen ajan tähtitieteen tärkeimpiä aloja olivat pallotähtitiede ja taivaanmekaniikka. Pallotähtitiede, erityisesti positioastronomia, oli tarpeen tähtiluetteloiden laatimisessa, ajan mittaamisessa ja paikan määrityksessä. Pallotähtitiede tutkii myös, miten havaintolaitteista ja havaitsijasta itsestään johtuvat virheet voidaan eliminoida ja näin parantaa tarkkuutta.

Tähtitieteen opiskelija voi pitää pallotähtitiedettä kuivana pakkopullana, jota tylsät opettajat tuputtavat väkisin sen sijaan että alkaisivat heti kertoa jännittävistä mustista aukoista ja muista eksoottisista olioista. Hiukan kuivaahan se saattaa olla, mutta kysymyksessä on alan perustieto, josta ammattilaisen on syytä olla perillä jonkin verran, ainakin niin paljon, että osaa laskea, milloin hänen havaintokohteensa on näkyvissä (tosin eivät kaikki tähtitieteilijätkään siihen pysty). Osittain sama tilanne on taivaanmekaniikan kanssa, jonka alkeet kuuluvat tähtitieteelliseen yleissivistykseen. Taivaanmekaniikkaa tutkitaan kyllä edelleen aktiivisesti, ja tietokoneiden kehittyminen on avannut tutkimukselle aivan uusia mahdollisuuksia.

Taivaanmekaniikka on oppi, joka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä vetovoimakentässä. Klassisen taivaanmekaniikan perusolettamuksia ovat Newtonin kolme liikelakia, jotka kertovat, miten kappaleet käyttäytyvät niihin kohdistuvien voimien vaikutuksesta. Voimat puolestaan ovat muista taivaankappaleista aiheutuvia vetovoimia, jotka noudattavat niinikään Newtonin esittämää vetovoimalakia. Tässä onkin kaikki tarvittava fysiikka. Liikelakien ja vetovoimalain avulla voimme välittömästi kirjoittaa kappaleiden liikkeitä kuvaavat liikeyhtälöt. Loppu on sitten pelkkää matematiikkaa.

Newtonin Principia

Aristoteleen mukaan kappale pysyi liikkeessä vain niin kauan kuin siihen kohdistui eteenpäin työntävä voima. Tämä on jossakin määrin arkikokemuksemme mukaista, sillä ympärillämme näemme vain jossakin väliaineessa liikkuvia kappaleita. Vaikka kappaleen liike ei lopukaan heti siihen vaikuttavan voiman lakattua, se alkaa kuitenkin hidastua väliaineen kitkan vuoksi.

Jos kappale ui siirapissa, se liikkuu saman voiman vaikutuksesta hitaammin kuin vedessä tai ilmassa. Aristoteles päätyikin ajatukseen, että nopeus on kääntäen verrannollinen väliaineen tiheyteen. Tästä seuraa, että tyhjiössä nopeuden tulisi olla ääretön. Siksi Aristoteleen mielestä tyhjiötä ei voi olla olemassakaan.

Vasta keskiajan loppupuolella Aristoteleen liikeoppia alettiin kritisoida. Kuten aiemmin mainittiin, vastaväitteitä esittivät mm. Jean Buridan ja Nicolas Oresme 1300-luvulla. He kehittelivät impetusteoriaa, jossa jo on enteitä nykyfysiikan yhdestä perusperiaatteesta, liikemäärän eli impulssin säilymislaista. Voimakkaimmin Aristoteleen oppeja vastaan nousi Galilei, jonka tulokset kuitenkin olivat vain havaintoihin perustuvia kinemaattisia eli kappaleiden liikettä kuvailevia lakeja. Liikkeiden syitä tutkiva dynamiikka sai alkunsa Newtonista.

Cambridgen matematiikan professori Isaac Newton hyväksyttiin Royal Societyn jäseneksi tammikuussa 1672. Vuonna 1677 seuran sihteeriksi tuli jo viisitoista vuotta seuran demonstraattorina toiminut Robert Hooke, joka pari vuotta myöhemmin aloitti kirjeenvaihdon Newtonin kanssa. Hooke esitti Newtonille kysymyksen, millaista rataa pitkin liikkuu kappale, johon kohdistuu etäisyyden neliöön kääntäen verrannollinen voima. Ajatus muotoa 1/r 2 olevasta voimasta ei ole Newtonin keksintöä, vaan muutkin pohdiskelivat sitä. Tällaisia ajatuksia oli Bullialdus esittänyt jo vuonna 1645. Joka tapauksessa seurauksena oli Newtonin ja Hooken välinen riita siitä, kenelle kunnia keksinnöstä kuului.

Auringon säteilystä löytyy analogia, jonka perusteella muotoa 1/r 2 oleva voima on hyvin luonteva arvaus. Ajatellaan Auringon ympärille r-säteinen pallo. Pallon pinta-ala on 4 pi r 2. Avaruudessa ei synny eikä häviä säteilyä, joten tämän pinnan lävitse kulkee täsmälleen yhtä paljon säteilyä kuin lähtee Auringosta. Kaikki säteily levittäytyy tasaisesti pallon pinnalle, joten pinta-alayksikölle osuvan säteilyn määrä on kääntäen verrannollinen pallon pinta-alaan ja siis kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Samanlainen riippuvuus etäisyydestä tuntuu varsin luonnolliselta, jos säteilyn paikalle ajatellaan jokin Auringosta peräisin oleva voima.

Vetovoimakeskusteluihin mukaan tullut Edmond Halley matkusti vuonna 1684 tapaamaan Newtonia. Myös Halley kysyi, millaista rataa pitkin liikkuu kappale, johon kohdistuu 1/r 2-voima. Newton vastasi, että rata on ellipsi. Halley vaati Newtonia julkaisemaan tuloksensa.

Newton aloitti maanisen työskentelyn ongelman kimpussa. Työn seurauksena ilmestyi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica vuonna 1687.

Newtonin Principiasta alkaa nykyaikaisen mekaniikan kehitys. Suurin osa käytännön elämässä vastaan tulevista mekaniikan ilmiöistä pystytään vallan hyvin selittämään Principiassa esitettyjen periaatteiden avulla.

Kuten kaksi aikaisempaa suurta klassikkoa, Ptolemaioksen Almagest ja Kopernikuksen De Revolutionibus, myös Principia perustuu klassiseen geometriaan. Taas kerran on todettava, että pystyäkseen lukemaan teosta on ensin syytä opiskella Eukleideen Elementa.

Kirjan johdannossa Newton selittää absoluuttisen ajan ja avaruuden käsitteitä. Vasta suhteellisuusteoria osoitti, miten niistä voidaan luopua. Johdanto-osassa Newton myös esittää fysiikasta tutut kolme mekaniikan peruslakiaan. Niiden jälkeen tulee kaksi korollaaria, joiden oleellinen sisältö on, että voimia lasketaan yhteen kuten vektorisuureita. Tosin mitään vektorin käsitettä Newton ei tietenkään käytä.

Vasta Newtonin lakien kautta dynamiikan peruskäsite, voima, sai täsmällisen määritelmän. Newton myös oivalsi, että liikelait saavat yksinkertaisen muodon juuri Aristoteleen kauhistelemassa tyhjiössä, jossa hankalasti käsiteltäviä kitkavoimia ei ole. Dynamiikan peruslait näkyvät selvemmin taivaankappaleiden kuin heilureiden tai kaltevalla pinnalla vierivien pallojen liikkeissä.

Principian ensimmäisen kirjan sektio 3 sisältää planeettaliikkeen kannalta oleellisimmat tulokset. Sen alussa esitetään kolme probleemaa, joissa kysytään, millainen voima tarvitaan, jos kappaleen rata on ellipsi, hyperbeli tai paraabeli. Kaikkiin saadaan sama vastaus: voiman on oltava kääntäen verrannollinen polttopisteestä mitattuun etäisyyteen.

Newton ei siis suinkaan todistanut, että 1/r2-voiman vaikutuksesta kappale liikkuisi pitkin kartioleikkausta. Sen sijaan hän todisti, että kartioleikkausta pitkin liikkuvaan kappaleeseen kohdistuva voima on muotoa 1/r2. Nämä ovat aivan eri asioita. Newtonin tulos osoittaa kyllä, että 1/r2-voiman vaikutuksesta kappale voi liikkua kartioleikkausta pitkin, mutta se ei todista, että vain kartioleikkaukset olisivat mahdollisia ratoja. Onhan täysin mahdollista, että muunkinlaiset radat voivat olla sallittuja. Vaikka Newton ilmeisesti olikin vakuuttunut myös käänteisestä väitteestä, että rata on aina kartioleikkaus, hän ei sitä todistanut.

Newton oli kehittänyt fluksioiden ja fluenttien matematiikan, joka nykyisin tunnetaan nimellä differentiaali- ja integraalilaskenta. Se on ennen kaikkea jatkuvasti muuttuvien suureiden käsittelyyn tarkoitettua matematiikkaa, ja siinä se on täysin ylivoimainen kaikkiin aikaisempiin menetelmiin verrattuna. Käyttämällä differentiaalilaskentaa nykyaikaisessa muodossa Keplerin lait voi todistaa tavattoman helposti. Jättämällä selittelyt pois koko jutun saisi mahtumaan yhdelle A4-arkille.

Ilmeisesti Newton itse päätyi tuloksiinsa käyttämällä fluksiolaskentaa. Miksi ihmeessä Newton ei sitten käyttänyt tätä todella eleganttia apuvälinettä Principiassa, vaan turvautui hankaliin geometrisiin konstruktioihin?

Ensimmäinen mahdollisuus on, että kaikesta erinomaisuudestaan huolimatta Newton oli vahvasti sidoksissa vanhaan maailmaan ja pelkäsi esittää liiaksi uutta asiaa samassa teoksessa. Hän varmisti, että tulokset perustuivat kiistattomasti hyväksyttyyn klassiseen geometriaan. Jos hän olisi käyttänyt fluksioitaan, tuo menetelmä itsessään olisi ehkä joutunut pitkällisen kiistelyn kohteeksi. Toinen mahdollisuus on, että Newton ei halunnut paljastaa nerokasta menetelmäänsä, vaan säästi sen omaan käyttöönsä. Kolmas, edellisiä ilkeämielisempi teoria on, että Newton halusi ihan piruuttaan tehdä Principiasta niin vaikeatajuisen, ettei hänen vihamiehensä Robert Hooke saisi siitä tolkkua.

En tiedä, saiko Hooke tolkkua Principiasta, mutta se on varmaa, että useimmat muut eivät saaneet. Onneksi Newtonin seuraajat olivat uudenaikaisempia kuin Newton, ja pystyivät selvittämään ymmärrettävällä tavalla, mitä Newton oikein oli tarkoittanut. Yksi tunnetuimpia oli James Ferguson, jonka vuonna 1756 ilmestyneestä kirjasta Astronomy Explained on Sir Isaac Newton's Principles tuli oikein suosittu. Sitä luki mm. aikansa kuuluisimmaksi tähtitieteilijäksi kohonnut William Herschel.

Analyyttinen mekaniikka

Principia ei vaikuttanut ainoastaan taivaankappaleiden liikkeiden tutkimukseen, vaan siitä alkoi koko nykyaikainen mekaniikka. Newtonin lait ovat kuitenkin vain yksi mahdollinen tapa formuloida mekaniikan perusperiaatteet.

Newtonin mekaniikan lähtökohta voidaan nykyaikaisella merkintätavalla esittää kaavana

F = m d2r/ dt 2.

Tässä vasemmalla puolella esiintyy kappaleeseen kohdistuva voima F tai mahdollisesti useiden voimien vektorisumma. Oikella puolella on kappaleen massa m kertaa kappaleen kiihtyvyys eli paikkavektorin r toinen derivaatta ajan t suhteen. Yhtälö sitoo siis toisiinsa kaksi oleellisesti erilaista asiaa, kappaleeseen kohdistuvan voiman ja kappaleen liikkeen. Ratkaisemalla tästä yhtälöstä paikkavektori r saadaan selville kappaleen liikerata. Mitään tällaisia liikeyhtälöitä Newton ei kuitenkaan esittänyt, vaan tehtävä jäi jälkipolville.

Seuraavia huomattavia mekaniikan uudistajia olivat Leonhard Euler ja Joseph-Louis Lagrange.

Sveitsiläissyntyinen Euler vaikutti Pietarissa ja Berliinissä. Hän oli hyvin monipuolinen ja tuottelias matemaatikko. Mekaniikan kannalta merkittävin työ oli variaatiolaskennan kehittäminen.

Differentiaalilaskennan avulla voidaan laskea, mikä on annetun funktion suurin tai pienin arvo, eli voimme löytää funktion ääriarvot. Variaatiolaskennan avulla voidaan ratkaista yleisempiä ääriarvotehtäviä. Yksi sellaisista on seuraava ongelma: kiinnitämme kaksi pistettä, ja on etsittävä sellainen käyrä, jota pitkin vetovoimakentässä kitkatta liukuva kappale nopeimmin siirtyy pisteestä toiseen. Variaatiolaskennan keinoin voimme johtaa differentiaaliyhtälön, jonka ratkaisuna saadaan kysytyn käyrän yhtälö. Mekaniikan myöhemmät formuloinnit tulivat perustumaan erilaisille ääriarvoperiaatteille, joiden käsittelyyn tarvittiin juuri variaatiolaskentaa.

Halleyn kirjoitus uuden differentiaalilaskennan eduista sai Lagrangen innostumaan matematiikasta toden teolla. Koko ikänsä Lagrange kehitti analyysia, ja hänen päätyönsä Mécanique analytique ilmestyi 1788. Sen esipuheessa Lagrange totesi tyytyväisenä, että teoksesta ei löydy yhtään kuvaa.

Lagrange irrottautui täydellisesti klassisesta geometriasta. Lagrangen formalismissa systeemiä voidaan kuvata joukolla muuttujia, jotka voivat olla melkein mitä tahansa. Niiden ei siis enää tarvitse olla kappaleiden paikkakoordinaatteja.

Tätä formalismia kehitti edelleen irlantilainen William Rowan Hamilton. Hänen ensimmäinen julkaisunsa käsitteli optiikkaa. Hamilton onnistui soveltamaan optiikan ideoita myös mekaniikkaan.

Systeemin tilaan liittyy funktio L, jota kutsutaan systeemin Lagrangen funktioksi. Ajan kuluessa tämän funktion arvo muuttuu, ja jonakin aikavälinä voimme laskea funktion integraalin kyseisen aikavälin yli. Hamilton esitti 1834, että kaikista mahdollisista reiteistä systeemi valitsee sen, jota pitkin tuo integraali saa ääriarvon. Muita vastaavia ääriarvoperiaatteita oli esitetty jo aikaisemminkin, mutta nykyisin käytetään lähinnä ylläolevaa muotoa. Ääriarvon löytämiseksi tarvitaan Eulerin ja Lagrangen kehittämää variaatiolaskentaa. Se johtaa liikettä kuvaaviin yhtälöihin, jotka tunnetaan Lagrangen liikeyhtälöinä.

Hamilton kehitti mekaniikan formalismia vielä pitemmälle. Sopivalla matemaattisella muunnoksella hän siirtyi Lagrangen yhtälöistä ns. kanonisiin liikeyhtälöihin, jotka tunnetaan myös Hamiltonin liikeyhtälöinä. Systeemin tilaa kuvaa nyt Hamiltonin funktio, joka useissa tapauksissa edustaa systeemin kokonaisenergiaa. Monissa taivaanmekaniikan tehtävissä Hamiltonin mekaniikka johtaa huomattavasti lyhyempiin laskuihin kuin matemaattisesti alkeellisempi Newtonin formalismi.

Hamiltonin formalismi on myöhemmin osoittautunut käyttökelpoiseksi myös kvanttimekaniikassa. Hamiltonin yhtälöiden muuttujat esiintyvät pareittain ja parin dimensioiden tulo on aina sama kuin ajan ja energian dimensioiden tulo. Sopivia pareja ovat siten aika ja energia tai etäisyys ja liikemäärä (impulssi). Huomaamme, että nämähän ovat juuri sellaisia pareja, joiden välillä vallitsee Heisenbergin epätarkkuusperiaate: molempia suureita emme voi samanaikaisesti mitata mielivaltaisen tarkasti.

Kolmen kappaleen probleema

Keplerin lait seuraavat helposti Newtonin laeista. Kysymyksessä on tällöin yksinkertaisin mahdollinen tilanne, jossa kaksi kappaletta kiertää toisiaan keskinäisen vetovoimansa vaikutuksen alaisena. Tämä on kahden kappaleen probleema, ja sitä koskevat liikeyhtälöt pystytään ratkaisemaan analyyttisesti.

Seuraavaksi mutkikkaampi järjestelmä on kolmen kappaleen systeemi. Voimme vielä tehdä koko joukon yksinkertaistavia oletuksia. Oletamme, että kaikki kappaleet liikkuvat samassa tasossa. Oletamme edelleen, että kolmas kappale on massaton, joten se ei millään tavoin vaikuta kahden muun liikkeisiin. Nämä kaksi isoa kappaletta panemme liikkumaan ympyräradoilla, jolloin niiden paikat kaikkina aikoina on hyvin helppo laskea. Esimerkki tällaisesta tilanteesta on vaikkapa kaksoistähden ympärillä kiertelevä pieni planeetta. Kuu on melko massiivinen kappale, joten Auringon, Maan ja Kuun systeemi ei ole aivan näin yksinkertainen kolmen kappaleen systeemi, mutta aikoinaan se oli luonnollisesti tärkein käytännön tehtävä, jota yritettiin käsitellä kolmen kappaleen probleemana.

Meillä on nyt siis niin yksinkertainen kolmen kappaleen systeemi kuin mahdollista. Kahden kappaleen paikat tiedämme jo ennakkoon. Luulisi siis, että massattoman kappaleemme radan laskeminen on lasten leikkiä. Yllätykseksemme huomaamme kuitenkin, että tehtävä on mahdoton. Emme kertakaikkiaan pysty löytämään mitään yksinkertaista matemaattista lauseketta, joka kuvaisi kolmannen kappaleen paikan kaikkina ajan hetkinä. Monet tunnetut matemaatikot, kuten Clairaut ja Euler, yrittivät ratkaista tehtävää, mutta joutuivat luovuttamaan.

Periaatteessa ratkaisu on kyllä olemassa, mutta emme pysty lausumaan sitä äärellisenä lausekkeena tavallisten alkeisfunktioiden avulla. Kolmen kappaleen probleeman tutkimuksista tuli aikanaan kuuluisaksi Helsingin yliopiston tähtitieteen professori Karl Frithiof Sundman. Hän pystyikin esittämään ongelmalle ratkaisun, mutta se on äärettömän pitkä sarjakehitelmä.

Sarjakehitelmät ovat monesti hyvin käyttökelpoisia, koska niiden avulla monimutkainen funktio voidaan laskea yksinkertaisten peruslaskutoimitusten avulla. Edellytyksenä on kuitenkin, että sarja suppenee riittävän nopeasti. Tämä tarkoittaa, että sarjasta tarvitsee käyttää vain pieni määrä ensimmäisiä termejä, koska kaikki myöhemmin tulevat termit ovat hyvin pieniä, eivätkä siten juuri vaikuta lopputulokseen. Sundmanin sarjan ongelmana on sen toivottoman hidas suppeneminen, niin hidas, että sitä on aivan turha yrittää laskea edes nykyajan nopeimmilla supertietokoneilla.

N:n kappaleen probleema

Jos kolmen kappaleen muodostama järjestelmä jo käy yli ymmärryksemme, miten sitten voimme hallita kokonaisen aurinkokunnan kappaleiden liikkeitä? Siinähän on sentään yksi tähti, yhdeksän planeettaa, kymmeniä kuita sekä tuhansia asteroideja, komeettoja ja muita pikkukappaleita.

Onneksi tilanne ei ole toivoton, sillä avuksemme saapuu matemaatikko, ihmisen ystävistä nerokkain. Hän neuvoo meille kaksi tietä totuuteen.

Toinen tie on suora ja lavea. Mikä tahansa yhtälö voidaan aina ratkaista raakaa voimaa käyttämällä eli numeerisesti. Tarvitsemme vain planeettojen paikat ja nopeudet yhdellä hetkellä ja sijoitamme ne liikeyhtälöihin. Paikkojen avulla voimme laskea, millaisilla vetovoimilla kappaleet vaikuttavat toisiinsa, siitä saamme niiden kiihtyvyydet, ja vihdoin paikkojen, nopeuksien ja kiihtyvyyksien perusteella voimme laskea uudet paikat hetkeä myöhemmin. Tätä samaa rutiinia toistamalla voimme laskea kappaleiden paikat pitkälle tulevaisuuteen. Tämä menetelmä oli raskas ja epäkäytännöllinen siihen aikaan kun isä laskutikun osti. Nykyisin tietokoneet pyörittävät aurinkokuntaa vuosikymmeniä muutamassa sekunnissa, eikä homman ohjelmointi edes ole kovin mutkikasta.

Käytännön tarpeisiin numeerinen ratkaisu on tavallisesti riittävä, mutta teoreetikkoa kiinnostavat esimerkiksi kysymykset, kuinka herkkiä ratkaisut ovat häiriöille ja mistä suureista ne riippuvat. Voimme tietenkin laskea hirveän määrän erilaisia tietokonesimulointeja, ja katsoa mitä tapahtuu. Olisi kuitenkin kauniimpaa, jos meillä olisi yksi lauseke, josta suoraan näkyy häiritsevän kappaleen radan vaikutus häirinnän kohteeseen.

Tätä varten on se kapea ja mutkainen tie, joka tunnetaan häiriöteoriana. Ennen tietokoneita se tie oli myös ainoa käytännöllinen keino planeettojen liikkeitten ennustamiseen.

Tilannetta yksinkertaistaa aurinkokunnan tapauksessa se, että keskuskappaleiden aiheuttamat vetovoimat ovat niin hallitsevia. Laskettaessa planeettojen ratoja ne voidaan aluksi laskea kahden kappaleen probleeman ratkaisuina, ikäänkuin muita planeettoja ei olisi olemassakaan. Samoin planeettoja kiertävien kuiden ratoja laskettaessa voidaan aluksi unohtaa Auringon ja muiden planeettojen vetovoimat. Nämä voimat voidaan sitten ottaa huomioon pieninä häiriöinä, jotka poikkeuttavat tutkittavaa kappaletta hieman sen alkuperäiseltä ellipsiradalta. Häiriöiden laskeminen on aika työlästä puuhaa, mutta tulokseksi saadaan sarjakehitelmä, joka näennäisestä mutkikkuudestaan huolimatta on helppo laskea ja josta eri suureiden vaikutukset näkyvät aika hyvin. Sarja ei sisällä mitään sinejä ja kosineja mutkikkaampia funktioita.

Häiriöitä kuvaavat lausekkeet ovat siis sarjoja, joissa on suuri määrä jaksollisia termejä. Tässä on jotakin hämärästi tuttua. Eikö episykliteoria juuri kuvannut planeettojen liikkeitä ympyräliikkeiden, siis yksinkertaisella tavalla jaksollisten liikkeiden, summana? Nyt tosin ei käytetä ympyräliikkeitä, vaan ellipsejä (jos sarjakehitelmässä sini- ja kosinitermien kertoimet olisivat samoja, saataisiin juuri episykliliike). Lisäksi olemme oppineet, ettei äärellinen määrä termejä koskaan riitä antamaan täsmällistä ratkaisua. Pohjimmiltaan episyklien ja häiriösarjojen ideat ovat kuitenkin sukua toisilleen.

Häiriösarjoja johdettaessa oletetaan, että häiriöt ovat pieniä. Toisin kuin Sundmanin sarja, nämä häiriösarjat eivät edes pyri esittämään täydellistä ratkaisua; ne kuvaavat rataa vain likimäärin. Ottamalla mukaan vain muutamia kymmeniä termejä rataa voidaan jo kuvata melko hyvin. Laskettaessa häiriöitä näiden sarjojen avulla on kuitenkin aina tiedettävä, millaisia oletuksia niitä johdettaessa on käytetty.

Planeettojen häiriöteorian kehitti käyttökelpoiseen muotoon Pierre Simon Laplace. Viisiosaisessa kirjassaan Mécanique Céleste Laplace julisti mekanistisen maailmankuvan ohjelmansa. Jos tiedämme kaikkien kappaleiden paikat ja nopeudet ja niihin kohdistuvat voimat jollakin hetkellä äärettömän tarkasti, voimme laskea niiden paikat kaikkina muinakin hetkinä sekä eteen- että taaksepäin. Koko maailmankaikkeuden kehitys pienintä alkeishiukkasta myöten olisi ennalta määrätty ja laskettavissa täsmällisesti tunnetusta alkutilasta.

Heti alkuunsa tällainen suunnitelma kaatuu tietenkin siihen, ettei näitä alkuarvoja tunneta riittävän tarkasti. Myöhemmin osoittautui, ettei edes äärettömän tarkka tieto jollakin hetkellä vallitsevasta tilanteesta riitä, sillä alkeishiukkasten tasolla luonto ei käyttäydy newtonilaisen kellokoneiston tavoin, vaan on luonteeltaan satunnainen. Kaoottisten ilmiöiden tutkimus on lisäksi opettanut, kuinka helposti pienetkin virheet alkuarvoissa saattavat kasvaa kiihtyvällä nopeudella mitä pitemmälle systeemin kehitystä lasketaan. Tämä vaikeuttaa huomattavasti mm. pitkäaikaisten sääennustusten laskemista.

Kaaos ei kuitenkaan aina tarkoita, että systeemin käyttäytymistä olisi mahdoton ennustaa. Esimerkiksi planeettojen ratoja kuvaavat suureet vaihtelevat ajan mittaan tavalla, jota ei voi kunnolla kuvata millään matemaattisella lausekkeella. Silti nämä vaihtelut voidaan numeerisesti laskea hyvin tarkasti. Kysymyksessä onkin ns. deterministinen kaaos. Se ei haittaa ilmiöiden ennustettavuutta, sillä siihen ei sisälly aitoa satunnaisuutta.

Satunnainenkaan kaaos ei aina ole pahasta: uudemmat tutkimukset ovat osoittaneet, että itse asiassa joissakin tilanteissa juuri kaoottinen käyttäytyminen pitää systeemin stabiilina. Muutenkin kaoottisissa järjestelmissä voi esiintyä häiriöitä vaimentavia tekijöitä. Suorastaan tympäiseväksi kliseeksi on käynyt väite, että viidakossa lentelevän perhosen siivenisku voi aikaansaada pyörremyrskyn jossakin maapallon toisella puolella. Vertauksen tarkoitus lienee ollut vain havainnollistaa kaoottisten ilmiöiden mahdollisia ominaisuuksia, ja siinä mielessä ajatus on periaatteessa oikea. Jotka soveltavat sitä kaikkeen, mikä liikkuu, puhuvat puppua.

Kuun liike

Kuun liikkeillä on ollut merkitystä tähtitaivaan tutkijoille niin kauan kuin heitä on ollut. Newton itse sovelsi vetovoimalakiaan Kuun liikkeen laskemiseen. Valitettavasti hän aluksi käytti Kuun radan koolle väärää arvoa, ja sai tietenkin väärän tuloksen. Väitetään, että tämä sai hänet lykkäämään vetovoimalakinsa julkaisemista.

Jo Newton onnistui selittämään muutamia Kuun liikkeessä esiintyviä häiriöitä. Hän osoitti Kuun ratatason kiertymisen olevan seurausta Auringon vetovoimasta, joka pyrkii kääntämään rataa kohti ekliptikan tasoa. Kysymyksessä on sama ilmiö, joka aiheuttaa myös maapallon pyörimisakselin kiertymisen eli prekession.

Kaikessa mutkikkuudessaan Kuun liike oli kuitenkin niin vaikea ongelma, että se vaivasi parhaita matemaatikkoja aina 1900-luvulle saakka.

Yksi ongelmista on radan perigeumin kiertyminen. Perigeum on radan piste, jossa Kuu on lähimmillään Maata. Ilman häiriöitä se pysyisi paikoillaan, mutta todellisuudessa se kiertyy täyden kierroksen 8.85 vuodessa. Newton sai jo karkean arvion perigeumin kiertymiselle, mutta vasta Alexis Clairaut antoi sille kunnollisen selityksen 1749. Clairaut myös julkaisi numeeriset taulukot Kuun liikkeiden laskemiseksi. Teoriaa kehittivät edelleen mm. kuuluisat matemaatikot Euler, Laplace ja Pontécoulant.

1800-luvulla ilmestyi sitten useita Kuun liikettä käsitelleitä tutkimuksia. Vuonna 1857 ilmestyivät Hansenin kuutaulut, joita käytettiin yleisesti tämän vuosisadan alkupuolelle. Kolme vuotta myöhemmin (1860) ilmestyi Delaunayn kuuteoria. Se on täysin analyyttinen teoria Kuun radalle. Häiriöitä kuvaa sarjakehitelmä, jossa on 320 termiä. Sarjan johtamiseen Delaunayltä kului aikaa parikymmentä vuotta. Vuonna 1970 sarja tarkistettiin tietokoneella käyttämällä apuna symbolisen matematiikan ohjelmia. Sarjasta löydettiin vain kolme pientä virhettä numeerisista vakioista. Delaunayn teorian yleinen muoto tekee sen käyttökelpoiseksi muutenkin kuin vain Kuun paikkojen laskemiseen. Sitä voidaan yhtä hyvin soveltaa myös vaikkapa Maata kiertävän satelliitin rataan.


Delaunayn kuuteoriassa esiintyvä häiriöitä kuvaava häiriöfunktio R sisälsi 320 termiä. Kuvassa sarjan alkupäätä. Lauseke on pitkä, mutta ei sisällä peruslaskutoimitusten lisäksi kosineja mutkikkaampia funktioita. Kuvan sivu on Tisserandin (1845-1896) teoksesta Traité de mécanique céleste.

Vuonna 1878 Hill julkaisi oman teoriansa, jota Brown edelleen jalosti vuonna 1919 ilmestyneissä kuutauluissaan. Nämä taulut hyväksyttiin pian yleisesti Kuun liikkeiden laskujen perustaksi.

Mm. suomalaisessa almanakassa ilmoitetut Kuun ilmiöt on toistaiseksi laskettu Brownin teorian avulla. Koska nousu- ja laskuajat ilmoitetaan vain minuutin tarkkuudella, sarjojen pienimpiä termejä on jätetty pois. Almanakkaohjelmassa Kuun paikat on laskettu sarjasta, jossa on 150 termiä. Tämä osoittaa, että sarja suppenee aika hitaasti. Täytyy kunnioittaa niitä uurastajia, jotka ovat jaksaneet laskea Kuun liikkeitä ennen tietokoneiden aikakautta.

Neptunus

Taivaanmekaniikan yksi tehtävä on laskea kappaleiden paikat, kun niiden ratoja kuvaavat vakiot tunnetaan. Toinen tehtävä on tälle käänteinen, eli näiden vakioiden johtaminen havainnoista.

Vaikka planeettojen radat jo tunnettiin varsin hyvin, taivaalle ilmestyi aina silloin tällöin komeettoja, joiden radat olivat ennestään tuntemattomia. Ja 1800-luvun alussa löydettiin ensimmäiset asteroidit.

Ensimmäiset ratalaskut perustuivat lähinnä yritys-ja-erehdys-menetelmään. Ensimmäisen asteroidin löytäjän Giuseppe Piazzin havainnot päätyivät onneksi suurelle matemaatikolle Gaussille, joka sitten kehitti käyttökelpoisen menetelmän radan laskemiseksi havainnoista.

Gaussin menetelmää varten riittää kolme havaittua suuntaa, jotka on mitattu suhteellisen lyhyen ajan kuluessa. Olettamalla lisäksi, että rata on ellipsi ja sijaitsee Auringon kautta kulkevassa tasossa, rataa kuvaavat vakiot voidaan laskea. Näiden alustavien vakioiden avulla rata saadaan sen verran tarkasti, että kappale voidaan löytää myöhemminkin. Kun havaintoja kertyy lisää eri puolilta rataa, voidaan vakioiden arvoja tarkentaa.

1800-luvun puolivälissä kaksi matemaatikkoa, ranskalainen Jean Joseph Urbain LeVerrier ja englantilainen John Couch Adams, ryhtyi ratkaisemaan vielä vaikeampaa käänteistä ongelmaa. He päättivät laskea radan kappaleelle, josta ei ollut lainkaan havaintoja.

William Herschel oli 1781 löytänyt uuden planeetan, Uranuksen. Muutaman vuosikymmenen aikana kertyneiden havaintojen perusteella alettiin epäillä, että jokin häiritsi Uranuksen liikettä. Syylliseksi epäiltiin luonnollisesti toistaiseksi tuntematonta, vielä ulompaa planeettaa. Sekä LeVerrier että Adams ryhtyivät laskemaan, millainen kappale voisi aiheuttaa havaitut häiriöt.

Molemmilla herroilla oli mukanaan hieman onnea. He käyttivät lähtökohtana uuden planeetan radan säteelle omituista Titiuksen ja Boden lakia Se on yksinkertainen kaava, joka antaa planeettojen ratojen säteet kohtalaisen tarkasti, mutta mitään kunnollista fysikaalista selitystä sille ei tunneta. Tämä oli riittävän hyvä arvaus, jotta planeetta todella löytyi lasketusta paikasta.

Kummallakin teoreetikolla oli vaikeuksia maansa havaitsevien tähtitieteilijöiden kanssa. Lopulta LeVerrier pyysi saksalaista Johann Gallea etsimään planeettaa. Jo samana iltana 23.9.1846 Galle löysi sen melkein lasketusta paikasta. Planeetan tunnistamista helpotti, että Berliinissä oli alueesta uusi tähtikartta.

Tämän jälkeen englantilaisetkin innostuivat asiasta. Osoittautui, että Challis oli itse asiassa jo havainnut planeetan lähellä Adamsin laskemaa paikkaa, mutta oli jättänyt havainnot käsittelemättä, ja niin planeetta jäi löytymättä.

Tapahtumaa seurasi puolin ja toisin kansallistunteen kiihottama herjakirjoittelu. Asiaa vielä pahensivat amerikkalaiset Peirce ja Walker, jotka osoittivat, että häiriöihin sopii koko joukko erilaisia ratoja. LeVerrier'n laskema rata oli yksi niistä ja todellinen rata toinen.

Kysymyksessä on esimerkki tähtitieteessä (kuten monilla muillakin aloilla) hyvin usein esiintyvästä inversio-ongelmasta. Jonkin systeemin ominaisuuksien perusteella on helppo laskea, millaisia havaintoja siitä saadaan. Todellisuudessa meillä on kuitenkin tiedossamme vain havainnot, ja niistä pitäisi sitten takaperin laskea, millainen se systeemimme oikein on. Joskus yksikäsitteistä ratkaisua ei edes ole olemassa, vaan joukko erilaisia ratkaisuja sopii havaintoihin. Vaikeutena on usein myös se, että havaittavat suureet riippuvat vain vähän systeemin todellisista ominaisuuksista. Koska havainnot voidaan tehdä vain tietyllä tarkkuudella, ne sallivat toisistaan hyvinkin paljon poikkeavia ratkaisuja.

Merkuriuksen periheli

LeVerrier jatkoi planeettojen häiriöteorian kehittelyä, ja pystyikin selittämään liikkeet ennennäkemättömän tarkasti. Havaintojen ja teorian yhteensopivuudessa ja tarkkuudessa päästiin jo kaarisekunnin suuruisiin tai pienempiin virheisiin. Huomattava poikkeus tästä oli Merkurius, jonka perihelin eli Aurinkoa lähinnä olevan pisteen suuntaa teoria ei ennustanut riittävän tarkasti. Silloisten havaintojen mukaan periheli kiertyi tähtitaivaan suhteen 565 kaarisekuntia vuosisadassa, kun teoria ennusti vain 527 kaarisekuntia. Erotus, 38 kaarisekuntia, oli liian suuri, jotta se olisi voinut johtua havaintovirheistä.


peri.ps Jos planeettaan kohdistuva vetovoima ei ole täsmälleen muotoa 1/r 2, sen rata ei ole sulkeutuva ellipsi. Käytännössä rataa voidaan kuvata ellipsinä, jonka pisimmän akselin suunta kiertyy hitaasti. Merkuriuksen tapauksessa kiertyminen on Newtonin mekaniikan mukaista ennustetta hieman nopeampaa.

Joskus näkee väitteitä, että Merkuriuksen perihelin kiertymistä ei voitu lainkaan selittää ennen suhteellisuusteoriaa. Tämä ei pidä paikkaansa, sillä suurin osa kiertymästä on täysin Newtonin mekaniikan mukaista. Itse asiassa siisti ellipsirata on poikkeus, joka on mahdollinen vain kahden kappaleen systeemissä. Mikäli kappaleita on useampia kuin kaksi tai kappaleet eivät ole pallosymmetrisiä, vetovoima poikkeaa 1/r 2 -laista, jolloin rataellipsi rupeaa väistämättä kiertymään. Merkuriuksen ongelmana oli nimenomaan tuo pieni ylimäärä, jota Newtonin mekaniikka ei selitä.

Merkuriuksen ongelmaa yritettiin ratkaista monin tavoin. Sen voisi selittää Auringon litistyneisyys, Merkuriuksen sisäpuolella liikkuva planeetta tai pieni poikkeama Newtonin vetovoimalaista. Havainnot eivät kuitenkaan vahvistaneet mitään niistä. Tosin muutamat havaitsijat ilmoittivat nähneensä Merkuriuksen sisäpuolisen planeetan, ja sille ehdittiin jo antaa nimi Vulkanus, mutta mitään näistä mahdollisista Vulkanuksista ei pystytty enää löytämään uudestaan.

LeVerrier'n teorian kehittelyä jatkoi Yhdysvalloissa Simon Newcomb, joka myös kokosi ja järjesti suuren määrän aikaisempia havaintoja. Hän sai teorian ja havainnot sopimaan erinomaisesti yhteen, taaskin Merkuriusta lukuunottamatta. Hänen saamansa arvo perihelin kiertymän ylimäärälle oli 41+-2 kaarisekuntia, suunnilleen nykyisin hyväksytty arvo.

Vasta Einsteinin 1915 julkaisema yleinen suhteellisuusteoria selitti tämän ylimäärän. Se ennusti Merkuriuksen perihelille 43 kaarisekuntia suuremman kiertymisen vuosisadassa kuin Newtonin mekaniikka. Tämä oli loistava yhteensopivuus Newcombin laskeman arvon kanssa, ja sitä pidetäänkin yhtenä suhteellisuusteorian perustestinä. Tietenkin myös muiden planeettojen periheleissä täytyy esiintyä pieniä ylimääriä, mutta ne ovat niin pieniä, etteivät havainnot riitä niiden mittaamiseen.

Lähteitä

Koska tähtitiede oli Newtonin ajoista 1900-luvun alkuun saakka enimmäkseen taivaanmekaniikkaa, aiheesta on ilmestynyt suunnaton määrä kirjoja. Hyvä johdatus nykyaikaiseen taivaanmekaniikkaan on esimerkiksi Danbyn kirja, joka ei vaadi kovin syvällisiä matematiikan taustatietoja. Kirjassa käsitellään myös historiaa lyhyesti. Moderneissa oppikirjoissa käytetään vektori- ja matriisilaskentaa, jotka lyhentävät esitystä tuntuvasti ja tekevät sen myös havainnollisemmaksi. Vanhemmassa kirjallisuudessa näitä apuvälineitä ei käytetä; matematiikka lähtee silloin suunnilleen lukion matematiikan tasolta, mutta on melkoisen raskasta. Näistä vanhemmista esityksistä Moultonin kirja on erittäin luettava.

Bell, Eric T.: Matematiikan miehiä 1963, WSOY (Alkuteos Men of mathematics, 1937, Simon & Schuster 1986).

Danby, John M.A.: Fundamentals of Celestial Mechanics, Willman-Bell 1962, 2. laitos 1988.

Gauss: Theoria motus corporum coelestium, 1809; engl. Charles Henry Davis; Little, Brown and Co. 1857, Dover 1963.

Grosser, Morton: The discovery of Neptune, Harvard University Press 1962, Dover 1979.

Lehti, Raimo; Markkanen, Tapio; Rydman, Jan (toim.): Isaac Newton - jättiläisen hartioilla, Ursa 1988

Moulton, Forest Ray: An Introduction to Celestial Mechanics, Macmillan 1914.

Newton: Principia mathematica, GB.

Sundman, Karl F.: "Recherches sur le problème des trois corps", Acta Soc. Scient. Fenn. XXXIV, No 6, 1907.

Sundman, Karl F.: "Nouvelles recherches sur le problème des trois corps", Acta Soc. Scient. Fenn. XXXV, No 9, 1909.

Tisserand, Félix : Traité de mécanique céleste (4 osaa), 1889-1896.