Differentiaalilaskentaa

Differentiaalilaskennan lähtökohtana on seuraava ongelma: On annettu jokin käyrä

y = f(x).

Mikä on käyrän tangentin suunta pisteessä (x0, y0=f(x0))?

Historiaa

Klassisen geometrian avulla tangentti voidaan määrittää vain muutamissa erikoistapauksissa. Tutkiessaan spiraalien tangentteja Arkhimedes törmäsi tähän ongelmaan. Sen ratkaisemiseksi hän joutui kehittämään menetelmän, joka jo oleellisilta osiltaan vastaa differentiaalilaskentaa. Arkhimedeella ei kuitenkaan vielä ollut käytettävissään nykyaikaista funktion käsitettä, minkä vuoksi hän joutui ratkaisuissaan turvautumaan geometrian keinoihin.

Seuraava edistysaskel otettiin vasta 1600-luvulla. René Descartes oli kehittänyt analyyttisen geometrian, joka tarjosi keinon muuntaa geometrian ongelmat usein paljon yksinkertaisemmalle algebran kielelle. Uuden menetelmän avulla myös tangenttiongelman käsittely tuli helpommaksi, ja sitä tutki erityisesti Pierre de Fermat.

Fermat'n työt olivat ilmeisesti Isaac Newtonin tiedossa, ja niiden pohjalta hän loi fluksiolaskentansa. Se oli jo oleellisesti samaa kuin nykyinen differentiaali- ja integraalilaskenta, vaikka Newtonin käyttämät merkintätavat eivät olekaan jääneet yleiseen käyttöön muutamaa poikkeusta lukuunottamatta. Newtonin kanssa samaan aikaan samaa asiaa kehitti myös Gottfried Wilhelm von Leibniz. Newton oli päätynyt menetelmään jo ennen Leibnizia, mutta viivytteli sen julkaisemista niin kauan, että Leibniz ehti edelle. Tästä kehkeytyi myöhemmin riita siitä, kuuluuko kunnia differentiaali- ja integraalilaskennasta Newtonille vai Leibnizille. Totuus lienee, että molemmat keksivät sen toisistaan riippumatta.

Esimerkki: funktion x2 derivaatta

Aloitamme yksinkertaisella esimerkillä. Kysymme, mikä on käyrän y=x2 mielivaltaiseen pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin. Viereisen kuvan mukaisesti asetamme pisteen (x, y) kautta suoran, joka leikkaa käyrän myös pisteessä P. Näemme, että tämä ei ilmeisestikään ole aivan halutun tangentin suuntainen. Mutta jos annamme pisteen P siirtyä käyrää pitkin yhä lähemmäs ja lähemmäs alkuperäistä pistettä, suoramme suunta ilmeisestikin lähenee tangentin suuntaa. Saamme siis tangentin suunnan raja-arvona, kun P -> (x,y).

Meidän on nyt muotoiltava tämä selittely täsmällisempään matemaattiseen muotoon. Voimme merkitä pisteen P x-koordinaattia x + Delta x:llä. Sen y-koordinaatti on silloin (x + Delta x)2. Suoran kulmakerroin on

k = Delta y / Delta x
= [ (x+ Delta x)2 - x2 ] / [ (x + Delta x) - x ]
= [x2 + 2x Delta x + (Delta x)2 - x2 ] / Delta x
= [2x Delta x + (Delta x)2 ] / Delta x
= 2x + Delta x.

Kun nyt piste P lähestyy pistettä (x, y), Delta x lähestyy nollaa. Kulmakerroin pisteessä (x, y) on siten

limDelta x -> 0 Delta y / Delta x = limDelta x -> 0 2x + Delta x = 2x.

Olemme näin saaneet seuraavan tuloksen: käyrän y = x2 pisteeseen (x, y), asetetun tangentin kulmakerroin on 2x.

Tämä kulmakerroin riippuu pisteen x-koordinaatista, joten voimme pitää sitä x:n funktiona aivan kuten alkuperäistäkin funktiotamme. Tätä uutta funktiota sanomme alkuperäisen funktion derivaataksi.

Derivoituvuus

Edellisen esimerkin perusteella voimme asettaa derivaatalla seuraavan yleisen määritelmän:

Olkoon f jokin yhden muuttujan funktio. Sanomme, että f on derivoituva pisteessä x, jos raja-arvo

limDelta x -> 0 ( f(x + Delta x) - f(x) ) / Delta x

on olemassa. Tätä raja-arvoa sanotaan funktion derivaataksi pisteessä x ja merkitään f'(x):llä.

Koska geometrisesti ajateltuna derivaatta edustaa tangentin kulmakerrointa, funktiolla on derivaatta vain sellaisissa pisteissä, joissa sen kuvaajalle voidaan piirtää tangentti.

Esimerkiksi itseisarvofunktion y =| x | kuvaajalla on nollassa kärki, jossa tangentin suunta ei ole määritelty. Ylläoleva raja-arvo riippuu siitä, kummasta suunnasta nollaa lähestytään. Oikealla puolella lauseke on aina 1 ja vasemalla -1. Koska eri suunnista tultaessa lausekkeella on erilaiset arvot, raja-arvoa nollassa ei ole olemassa. Itseisarvofunktio ei siten ole derivoituva nollassa.

Toinen esimerkki tapauksesta, jossa derivaattaa ei ole olemassa, on hyperbeli y =1/x. Lähestyttäessä nollaa oikealta 1/x saa yhä suurempia ja suurempia arvoja ja lähestyy siis +ääretöntä. Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktio puolestaan lähestyy -ääretöntä.

Edellisten esimerkkien avulla saamme jonkinlaisen intuitiivisen käsityksen derivoituvuudesta. Jotta funktio olisi derivoituva jossakin pisteessä, sen on ensinnäkin oltava jatkuva kyseisessä pisteessä. Lisäksi vaaditaan, että sen kuvaaja ei saa muodostaa kulmaa tuossa pisteessä. Täsmälliset matemaattiset määritelmät funktion jatkuvuudelle ja derivoituvuudelle ovat hieman mutkikkaampia, joten emme paneudu niihin tässä. Meillä vastaan tuleviin tilanteisiin edellä esitetty intuitiivinen mielikuva riittää vallan hyvin.

Fysiikassa ja tähtitieteessä esiintyvät funktiot ovat yleensä derivoituvia kaikkialla mahdollisesti lukuunottamatta muutamia erikoispisteitä.

Derivointisääntöjä

Laskimme edellä funktion x2 derivaatan käyttämällä suoraan derivaatan määritelmää. Tämä on tietenkin se tapa, jolla derivaatan olemassaolo ja lausekkeen oikeellisuus on aina osoitettava kullekin funktiolle. Koska kuitenkin tarvitsemme derivaattoja usein, niitä ei kannata joka kerta laskea uudestaan määritelmästä lähtien. Sen sijaan on parempi opetella muutamia varsin helposti muistettavia derivointikaavoja, joilla derivaatat voi käytännössä laskea hyvin vähällä vaivalla. Seuraavassa luetellaan tärkeimmät derivointisäännöt.

dxn / dx = nxn-1

Tässä n voi olla mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi neliöjuuren derivaatta on dx1/2 / dx = x-1/2 / 2

d ex / dx = ex
d ax / dx = ax ln a
d ln x / dx = 1 / x
d logk x / dx = (logk e) / x
d sin x / dx = cos x
d cos x / dx = - sin x
d tan x / dx = 1 + tan2x
d arc sin x / dx = 1 / (1 - x2)1/2
d arc cos x / dx = -1 / (1 - x2)1/2
d arc tan x / dx = 1 / (1 + x2)

Yhdistetyn funktion derivaatta on

d ( f( g(x) ) / dx = (d f / d g) (d g / dx)

Esimerkiksi

d ( sin x2 ) / dx = ( cos x2 ) 2x.

Derivointi on lineaarinen operaatio: vakiokertoimen voi siirtää derivointioperaattorin ulkopuolelle ja summan derivaatta on yhteenlaskettavien derivaattojen summa:

d kf(x) / dx = k d f(x) / dx = kf'
d ( f(x) + g(x) ) / dx = d f(x) / dx + d g(x) / dx = f' + g'

Tulon, osamäärän ja potenssin derivaatat ovat:

d ( f(x) g(x) ) / dx = f'g + fg'
d ( f(x) / g(x) ) / dx = (f'g - fg') / g2
d ( f(x) g(x) ) / dx = d e g ln f / dx = f g ( g' ln f + gf' / f )

Viimeisen säännön avulla voidaan laskea esimerkiksi, että

d x x / dx = x x ( ln x + 1 )

Tulon derivointisääntö kannattaa muistaa juuri yllä esitetyssä muodossa, jossa tekijöiden järjestys on sama kuin alkuperäisessä lausekkeessa. Se nimittäin soveltuu myös vektorien välisiin vektorituloihin, joissa tekijöiden järjestystä ei saa vaihtaa.

Tulon derivointisääntö voidaan yleistää useammankin funktion tapaukseen. Esimerkiksi

d fgh / dx = f'gh + fg'h + fgh'.

Ääriarvot

Jos funktiolla on ääriarvo (minimi tai maksimi) jossakin pisteessä, sen tangentti on vaakasuora ko. pisteessä. Tangentin kulmakerroin ja siten funktion derivaatta on nolla ääriarvon kohdalla. Mahdolliset ääriarvot löydetään etsimällä derivaatan nollakohdat. Näin tosin saadaan vain ne ääriarvot, joissa funktio on derivoituva. Esimerkiksi itseisarvofunktiolla |x| on ääriarvo nollassa, mutta funktio ei ole derivoituva kyseisessä kohdassa. Derivaatan nollakohtien lisäksi on siis tutkittava myös ne pisteet, joissa derivaattaa ei ole olemassa.

Esimerkiksi funktion x2-2x derivaatta on 2x-2. Tämän nollakohta on x=1. Funktiolla on siis ääriarvo, kun x=1. Derivaatan lausekkeesta nähdään, että se on negatiivinen, kun x < 1 ja positiivinen, kun x > 1. Funktio on siis vähenevä pisteen x=1 vasemmalla puolella ja kasvava oikealla. Ääriarvo on siten minimi.

Vaikka derivaatta olisikin nolla, funktiolla ei välttämättä ole ääriarvoa; sillä voi olla myös käännepiste. Esimerkiksi funktion x3 derivaatta on 3x2, joka on nolla, kun x=0. Derivaatta on kuitenkin positiivinen nollan molemmilla puolilla, joten funktio on kasvava origon kummallakin puolella. Funktiolla ei siten ole ääriarvoa, vaan käännepiste. Pelkkä derivaatan arvo ei siis riitä vielä kertomaan, onko funktiolla todellakin ääriarvo.