kotisivu |
hakemisto |
kartat |
kohteet |
teoriaa |
matematiikkaa |
y = f(x).
Mikä on käyrän tangentin suunta pisteessä (x0, y0=f(x0))?
Historiaa
Klassisen geometrian avulla tangentti voidaan määrittää vain
muutamissa erikoistapauksissa. Tutkiessaan spiraalien tangentteja Arkhimedes törmäsi tähän ongelmaan.
Sen ratkaisemiseksi hän joutui kehittämään menetelmän, joka jo
oleellisilta osiltaan vastaa differentiaalilaskentaa. Arkhimedeella ei
kuitenkaan vielä ollut käytettävissään nykyaikaista funktion
käsitettä, minkä vuoksi hän joutui ratkaisuissaan turvautumaan
geometrian keinoihin.
Seuraava edistysaskel otettiin vasta 1600-luvulla. René Descartes oli kehittänyt analyyttisen geometrian, joka tarjosi keinon muuntaa geometrian ongelmat usein paljon yksinkertaisemmalle algebran kielelle. Uuden menetelmän avulla myös tangenttiongelman käsittely tuli helpommaksi, ja sitä tutki erityisesti Pierre de Fermat.
Fermat'n työt olivat ilmeisesti Isaac Newtonin tiedossa, ja niiden pohjalta hän loi fluksiolaskentansa. Se oli jo oleellisesti samaa kuin nykyinen differentiaali- ja integraalilaskenta, vaikka Newtonin käyttämät merkintätavat eivät olekaan jääneet yleiseen käyttöön muutamaa poikkeusta lukuunottamatta. Newtonin kanssa samaan aikaan samaa asiaa kehitti myös Gottfried Wilhelm von Leibniz. Newton oli päätynyt menetelmään jo ennen Leibnizia, mutta viivytteli sen julkaisemista niin kauan, että Leibniz ehti edelle. Tästä kehkeytyi myöhemmin riita siitä, kuuluuko kunnia differentiaali- ja integraalilaskennasta Newtonille vai Leibnizille. Totuus lienee, että molemmat keksivät sen toisistaan riippumatta.
Meidän on nyt muotoiltava tämä selittely
täsmällisempään matemaattiseen muotoon.
Voimme merkitä pisteen P x-koordinaattia
x + Delta x:llä. Sen y-koordinaatti
on silloin
(x + Delta x)2. Suoran kulmakerroin on
k = Delta y / Delta x
Kun nyt piste P lähestyy pistettä (x, y),
Delta x lähestyy nollaa. Kulmakerroin
pisteessä (x, y) on siten
limDelta x -> 0 Delta y / Delta x =
limDelta x -> 0 2x + Delta x =
2x.
Olemme näin saaneet seuraavan tuloksen:
käyrän y = x2 pisteeseen
(x, y), asetetun tangentin kulmakerroin
on 2x.
Tämä kulmakerroin riippuu pisteen x-koordinaatista,
joten voimme pitää sitä x:n funktiona aivan
kuten alkuperäistäkin funktiotamme. Tätä uutta
funktiota sanomme alkuperäisen funktion derivaataksi.
Olkoon f jokin yhden muuttujan funktio.
Sanomme, että f on derivoituva pisteessä x,
jos raja-arvo
limDelta x -> 0
( f(x + Delta x) - f(x) ) /
Delta x
on olemassa. Tätä raja-arvoa sanotaan funktion
derivaataksi pisteessä x ja merkitään
f'(x):llä.
Koska geometrisesti ajateltuna derivaatta
edustaa tangentin kulmakerrointa, funktiolla
on derivaatta vain sellaisissa pisteissä, joissa
sen kuvaajalle voidaan piirtää tangentti.
Esimerkiksi itseisarvofunktion y =| x | kuvaajalla
on nollassa kärki, jossa tangentin suunta ei
ole määritelty. Ylläoleva raja-arvo riippuu
siitä, kummasta suunnasta nollaa lähestytään.
Oikealla puolella lauseke on aina 1 ja vasemalla
-1. Koska eri suunnista tultaessa lausekkeella
on erilaiset arvot, raja-arvoa nollassa ei ole
olemassa. Itseisarvofunktio ei siten ole
derivoituva nollassa.
Toinen esimerkki tapauksesta, jossa derivaattaa
ei ole olemassa, on hyperbeli y =1/x.
Lähestyttäessä nollaa oikealta 1/x saa yhä suurempia ja
suurempia arvoja ja lähestyy siis +ääretöntä.
Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktio
puolestaan lähestyy -ääretöntä.
Edellisten esimerkkien avulla saamme jonkinlaisen
intuitiivisen käsityksen derivoituvuudesta.
Jotta funktio olisi derivoituva jossakin pisteessä,
sen on ensinnäkin oltava jatkuva kyseisessä
pisteessä. Lisäksi vaaditaan, että sen kuvaaja
ei saa muodostaa kulmaa tuossa pisteessä.
Täsmälliset matemaattiset määritelmät funktion
jatkuvuudelle ja derivoituvuudelle ovat hieman
mutkikkaampia, joten emme paneudu niihin tässä.
Meillä vastaan tuleviin tilanteisiin edellä
esitetty intuitiivinen mielikuva riittää
vallan hyvin.
Fysiikassa ja tähtitieteessä esiintyvät funktiot ovat
yleensä derivoituvia kaikkialla mahdollisesti lukuunottamatta
muutamia erikoispisteitä.
dxn / dx =
nxn-1
Tässä n voi olla mikä tahansa reaaliluku.
Esimerkiksi neliöjuuren derivaatta on
dx1/2 / dx = x-1/2 / 2
d ex / dx = ex
Yhdistetyn funktion derivaatta on
d ( f( g(x) ) / dx =
(d f / d g) (d g / dx)
Esimerkiksi
d ( sin x2 ) / dx =
( cos x2 ) 2x.
Derivointi on lineaarinen operaatio: vakiokertoimen voi
siirtää derivointioperaattorin ulkopuolelle ja
summan derivaatta on yhteenlaskettavien derivaattojen summa:
d kf(x) / dx =
k d f(x) / dx = kf'
Tulon, osamäärän ja potenssin derivaatat ovat:
d ( f(x) g(x) ) / dx =
f'g + fg'
Viimeisen säännön avulla voidaan laskea esimerkiksi, että
d x x / dx =
x x ( ln x + 1 )
Tulon derivointisääntö kannattaa muistaa
juuri yllä esitetyssä muodossa, jossa tekijöiden
järjestys on sama kuin alkuperäisessä
lausekkeessa. Se nimittäin soveltuu myös
vektorien välisiin
vektorituloihin, joissa tekijöiden järjestystä
ei saa vaihtaa.
Tulon derivointisääntö voidaan yleistää
useammankin funktion tapaukseen. Esimerkiksi
d fgh / dx =
f'gh + fg'h + fgh'.
Esimerkki: funktion x2 derivaatta
Aloitamme yksinkertaisella esimerkillä.
Kysymme, mikä on käyrän y=x2
mielivaltaiseen pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin.
Viereisen kuvan mukaisesti asetamme pisteen
(x, y) kautta suoran, joka leikkaa
käyrän myös pisteessä P. Näemme, että
tämä ei ilmeisestikään ole aivan
halutun tangentin suuntainen. Mutta jos
annamme pisteen P siirtyä käyrää pitkin
yhä lähemmäs ja lähemmäs alkuperäistä pistettä,
suoramme suunta ilmeisestikin lähenee
tangentin suuntaa. Saamme siis tangentin
suunnan raja-arvona, kun
P -> (x,y).
= [ (x+ Delta x)2 - x2 ] /
[ (x + Delta x) - x ]
= [x2 + 2x Delta x +
(Delta x)2 - x2 ] /
Delta x
= [2x Delta x + (Delta x)2 ] / Delta x
= 2x + Delta x.
Derivoituvuus
Edellisen esimerkin perusteella voimme asettaa
derivaatalla seuraavan yleisen määritelmän:
Derivointisääntöjä
Laskimme edellä funktion x2 derivaatan
käyttämällä suoraan derivaatan määritelmää. Tämä
on tietenkin se tapa, jolla derivaatan olemassaolo
ja lausekkeen oikeellisuus on aina osoitettava
kullekin funktiolle. Koska kuitenkin tarvitsemme
derivaattoja usein, niitä ei kannata joka
kerta laskea uudestaan määritelmästä lähtien. Sen
sijaan on parempi opetella muutamia varsin helposti
muistettavia derivointikaavoja, joilla derivaatat
voi käytännössä laskea hyvin vähällä vaivalla.
Seuraavassa luetellaan tärkeimmät derivointisäännöt.
d ax / dx =
ax ln a
d ln x / dx = 1 / x
d logk x / dx =
(logk e) / x
d sin x / dx = cos x
d cos x / dx = - sin x
d tan x / dx = 1 + tan2x
d arc sin x / dx =
1 / (1 - x2)1/2
d arc cos x / dx =
-1 / (1 - x2)1/2
d arc tan x / dx = 1 / (1 + x2)
d ( f(x) + g(x) ) / dx =
d f(x) / dx + d g(x) / dx
= f' + g'
d ( f(x) / g(x) ) / dx =
(f'g - fg') / g2
d ( f(x) g(x) ) / dx =
d e g ln f / dx =
f g ( g' ln f + gf' / f )