In English

Leveys- ja pituusasteen määritys

Nykyisin sijainti missä tahansa maapallolla voidaan määrittää nopeasti ja helposti suhteellisen halvan GPS-vastaanottimen avulla. Ennen satelliittien aikakautta käytössä oli erilaisia radiosuunnistusjärjestelmiä. Vielä vajaa vuosisata sitten mitään sellaisia ei ollut olemass, ja sijainti oli määritettävä tähtitieteellisistä havainnoista. Tässä harjoitustehtävässä yritämme tehdä saman ilman kalliita apuvälineitä.

Leveyden määritys Auringon avulla
Leveyden määritys tähtien avulla
Pituuden määritys, kun UTC tunnetaan
Paikallisajan määritys
Pituuden määritys, kun UTC:tä ei tunneta

1 Leveyden määritys Auringon avulla

Kohteen korkeus eli kulmaetäisyys taivaanrannasta on suurummillaan kohteen ollessa etelässä. Kohteen sanotaan silloin kulminoivan. Auringon (tai minkä tahansa kohteen) korkeutta kulminointihetkellä voidaan käyttää havaitsijan leveysasteen määrittämiseen.

1.1 Havainnot

Ensimmäinen tehtävä on seurata Auringon liikettä taivaalla ja mitata sen korkeus ajan funktiona. Aluksi esitellän kaksi keinoa, jolla nämä mittaukset voidaan tehdä yksinkertaisella ja halvalla tavalla. Ne perustuvat Auringon heittämän varjon tarkkailuun.

Menetelmä 1:

Tätä keinoa voidaan käyttää, jos Aurinko ei nouse kovin korkealle. Menetelmä kehitettiin alunperin suomalaista tähtitieteen harjoitustyötä varten.

Ensiksi on etsittävä ikkuna, josta Aurinko paistaa etelässä ollessaan. Ikkunan ei tarvitse osoittaa suoraan etelään; tärkeää on vain, että Aurinko on näkyvissä puolenpäivän aikoihin. Pöytä asetetaan ikkunan eteen (mahdollinen ikkunapenkki on luultavasti liian kapea tähän tarkoitukseen). Sitten tarvitaan paperiarkki tai foliota, johon tehdään neulalla kaksi pientä reikää. Reikien välimatkalla ei ole väliä, mutta se on mitattava mahdollisimman tarkasti. Suurempi välimatka antaa yleensä tarkempia tuloksia. Paperi tai folio teipataan ikkunaan niin, että reiät ovat täsmälleen pystysuoralla linjalla; vesivaakaa voi käyttää apuna. Nyt Aurinko paistaa reikien läpi ja pöydällä näkyy kaksi valotäplää. Täplien paikkojen merkitsemistä pöydälle teipataan paperiarkki.

Aurinko on etelässä paikallisen keskipäivän hetkellä. Koska kellomme eivät näytä paikallisaikaa, vaan lähimmän aikavyöhykkeen vyöhykeaikaa, Aurinko ei kulminoi tasan kello 12. Ero on Suomessa korkeintaan noin puoli tuntia, mutta kesäaikana jopa puolitoista tuntia.

Havainnot on syytä aloittaa hyvissä ajoin ennen kuin Aurinko on etelässä. Periaatteessa emme tiedä, milloin se tapahtuu, mutta tässä voimme hieman huijata ja katsoa asian almanakasta tai tähtitieteellisestä vuosikirjasta. Tarkka aika riippuu kuitenkin pituusasteesta.

Kun valotäplät osuvat pöydällä olevalle paperille, merkitään niiden paikat. On samantekevää, merkitäänkö täplien keskipisteet tai jokin reuna, kunhan se tehdään joka kerta juuri samalla tavalla. Tyypillisesti paikat kannattaa merkitä muutaman minuutin välein. Paikkojen aikavälit ovat tärkeitä, joten seuraa kellon sekuntiviisari. Kellon ei välttämättä tarvitse näyttää juuri oikeaa aikaa, sillä se voidaan korjata jälkeenpäin. Helpompaa tietysti on, jos kello on asetettu aikamerkin avulla tarkasti oikeaan aikaan.

Paperille tulee lukuisia pistepareja. Sekaannusten välttämiseksi kannattaa yhdistää samaa hetkeä vastaavat pisteet viivalla ja kirjoittaa viereen kellonaika.

Pisteet lähestyvät toisiaan, kunnes paikallisen keskipäivän jälkeen alkavat taas etääntyä. Havaintoja kannattaa jatkaa niin kauan kuin mahdollista (eli kunnes pisteet siirtyvät ulos paperilta).

Nyt havainnot onkin tehty. Kuten useimmissa tähtitieteellisissä projekteissa, ne ovat vain työn helppo rutiiniosa, niin sanotusti jäävuoren huippu. Sitten alkaa tulosten analysointi, matemaattinen osa (tai joidenkin mielestä varsinainen huvi).

Käytännön vihjeitä

Periaattessa havainnot ovat hyvin yksinkertaisia. Käytännössä eteen voi kuitenkin tulla monia pikku harmeja, jotka tärvelevät tulokset. Ensimmäisen yrityksen aikana huomaat luultavasti joitakin seuraavista ongelmista.
Alumiinifolioon on helppo tehdä neulalla siisti pyöreä reikä. Paperiin tulee yleensä epämääräisempi reikä, jolloin täplät ovat suttuisia. Folion ongelmana taas on sen ohuus, minkä vuoksi sitä on vaikea saada pysymään tiiviisti ikkunaa vasten. Hieman työläämpi mutta parempi ratkaisu on ottaa arkki pahvia ja leikata siihen kaksi aukkoa (vaikka noin senttimetrin läpimittaisia), liimata folio pahviin ja tehdä folioon reiät aukkojen keskelle. Lopuksi folio sitten painetaan ikkunaa vasten pahvin avulla.
Myös pöydällä oleva paperi pitäisi pitää mahdollisimman sileänä. Se taas on vaikeaa, jos arkki on iso (kuten yleensä on tarpeen). Taaskin pahvi tai jäykkä kartonki on parempi ratkaisu.
Pienet reiät toimivat kuten neulanreikäkamerat. Valotäplät ovat itse asiassa Auringon kuvia. Mikäli Auringon pinnalla on isoja auringonpilkkuja, ne voivat näkyä valotäplissä. Täplän keskipisteen merkitseminen on hankalaa. Helpompaa on merkitä jompikumpi soikean täplän kapeista päistä.
Mitä suurempi on pöydän ja reikien välimatka, sitä suurempia ja himmeämpiä Auringon kuvat ovat. Havaintoja helpottaa, jos huoneen yrittää pitää mahdollisimman hämäränä.

Menetelmä 2:

Toinen menetelmä toimii missä ja milloin tahansa, mutta homma on tehtävä ulkona.

Auringon neulanreikäkuvien sijasta käytetään minkä tahansa pystysuoran kohteen varjoa (sellainen voi olla lipputanko, lyhtypylväs tai tarkoitusta varten pystytetty keppi). Tärkeää on, että varjo lankeaa vaakasuoralle, tasaiselle pinnalle. Myös varjon aiheuttavan esineen tarkka pituus on tiedettävä.

Kuten edellisessäkin menetelmässä varjon pään paikka merkitään paikallisen keskipäivän molemmin puolin muutaman minuutin välein.

Käytännön vihjeitä

Mitä korkeampi keppi, sen tarkempi tulos, siis periaatteessa. Kuitenkin myös varjon alueelle tulee valoa, joten sen havaitseminen on vaikeaa, jopa mahdotonta, jos keppi on pitkä ja ohut.
Pinnan tulisi olla hyvin tasainen. Muuten varjon pään paikka voi jäädä liian epämääräiseksi.

1.2 Auringon korkeuden laskeminen

Kun havainnot on suoritettu, mitataan pisteparien välimatkat tai varjojen pituudet. Tulokset voi piirtää kaavioksi, jossa vaaka-akselilla on aika ja pystyakselilla välimatka tai pituus. Pisteet asettuvat käyrälle, joka näyttää paraabelilta. Ne eivät muodosta täysin tasaista käyrää, sillä tuloksissa on aina pientä hajontaa pisteiden paikkojen ja mittausten epätarkkuuden vuoksi. Tästä ei kannata huolestua. Kun havaintoja on paljon, pienet satunnaiset virheet kumoavat osittain toisensa. Mikäli jokin piste on kuitenkin selvästi käyrän ulkopuolella, se kannatta jättää pois.

Seuraavaksi etsitään käyrän alin piste; se vastaa hetkeä, jolloin Aurinko oli korkeimmillaan taivaalla. Voit yrittää piirtää sileän paraabelin, joka kulkee mahdollisimman hyvin havaintopisteiden kautta. Paremman tarkkuuden saat sovittamalla aineistoon paraabelin pienimmän neliösumman menetelmällä. Monissa laskimissa on tarkoitukseen sopiva ohjelma, ja näiltä sivuilta löytyy myös pieni C-ohjelma, joka suorittaa tarvittavat laskut. Ohjelman käyttämiseksi aika-etäisyys parit on kirjoitettava tiedostoon. Ohjelma sovittaa aineistoon toisen asteen käyrän ja tulostaa sen alimman kohdan koordinaatit.

Jos ikkunassa olevien reikien välimatka on d ja valotäplien lyhin etäisyys h, Auringon suurin korkeus on

a = arctan d/h.

Sama kaava kelpaa myös, jos d on varjon heittävän kepin pituus ja h lyhimmän varjon pituus.

1.3 Auringon koordinaatit

Seuraavaksi tarvitaan tietoa Auringon paikasta taivaanpallolla. Leveysastetta vastaava koordinaatti on nimeltään deklinaatio. Koska Aurinko liikkuu tähtitaivaan suhteen, sen deklinaatio muuttuu vuoden mittaan. Muutos on nopeinta kevät- ja syyspäiväntasausten aikaan, noin 0,4 astetta päivässä. Talvi- ja kesäpäivänseisausten aikaan deklinaation muutos pysähtyy ja vaihtuu vastakkaissuuntaiseksi.

Menetelmä 1:
Auringon koordinaatit yhden päivän välein kello 0 UTC löytyvät täältä. Taulukon sarakkeet ovat vuosi, kuukausi, päivä, pituusastetta vastaava rektaskensio tunteina, deklinaatio asteina sekä UTC-aika, jolloin Aurinko on etelässä Greenwichin nollameridiaanilla.

Havaintopäivän deklinaatiota voidaan käyttää karkeana likiarvona. Tarkemman arvon voi laskea interpoloimalla.

Menetelmä 2:
Täällä olevalla pienellä C-ohjelmalla voi laskea Auringon koordinaatit mielivaltaiselle ajanhetkelle, jolloin interpolointia ei tarvita. Ohjelman tarkkuus ei kuitenkaan ole aivan samaa luokkaa kuin JPL:n efemeridihin perustuvassa taulukossa.

1.3 Leveyden laskeminen

Nyt tiedämme Auringon korkeuden a ja deklinaation d. Kuten allaolevasta kuvasta nähdään, ne liittyvät havaintopaikan leveyteen f yhtälöllä

f = d - a+ 90\deg.

2 Leveyden määrittäminen tähtien avulla

Tähdet ovat liian himmeitä, jotta niitä voisi havaita samalla tavoin. Jotta tähtiä voisi käyttää, tarvitaan sekstanttia tai jotakin muuta apuvälinettä kulmien mittaamiseen. Ne ovat vain varsin kalliita. Sekstantilla kokenut havaitsija voi päästä 10 kaarisekunnin tarkuuteen, mikä vastaa muutamaa sataa metriä. Useimpien pienten kaukoputkien koordinaattiasteikkoja ei voi lukea riittävän tarkasti, joten niitä ei voi käyttää tarkkaan paikanmääritykseen.

Korkeuden saadaan nyt suoraan ja voidaan piirtää kuten edelläkin. Käyrän korkein kohta voidaan taas arvioida graafisesti tai pienimmän neliösumman menetelmällä.

Tähtien deklinaatiot eivät juuri muutu ajan mittaan, joten ne voidaan katsoa tähtiluettelosta. Taaskin suurempi tarkkuus teettää lisää töitä. Luettelot antavat tavallisesti koordinaatit vuodelle 2000. Ne muuttuvat hitaasti Maan akselin prekessioliikkeen vuoksi. Tarkkuusvaatimuksesta riippuen myös muita, pienempiä häiriöitä on ehkä otettava huomioon. Yksityiskohdat ovat liian mutkikkaita tässä esitettäväksi. Jos asia kiinnostaa, ne löytyvät mistä tahansa pallotähtitieteen kirjasta.

3 Pituuden määrittäminen, kun UTC tunnetaan

Leveysasteen määrittämiseksi tehdyistä havainnoista saatiin myös Auringon kulminointiaika. Sen avulla voidaan laskea pituusaste.

Pituuaste on verrannollinen paikallisajan ja Greenwichin yleisajan erotukseen. Paikallisaika voidaan määrittää havaitsemalla Auringon tai muun tunnetun kohteen kulminaatiohetki. Ongelmana on, että etelän suuntaa ei yleensä tiedetä tarkasti. Edellä esitetty menetelmä välttää tämän ongelman. Oleellista on tehdä useita havaintoja ennen kulminointia ja sen jälkeen. Pelkkä korkeuden muutosten seuraaminen ei riitä, sillä kulminaatiohetkellä korkeus ei muutu, joten ajanhetkeä ei voi määrittää tarkasti. Kun havaintoja tehdään useita, niistä voidaan laskea kulminaatioaika esimerkiksi juuri pienimmän neliösumman ohjelmalla.

Havaintoja varten kellon ei tarvitse näyttää täsmällee oikeaa aikaa, sillä vain havaintojen keskinäiset väliajat ovat tärkeitä. Pituuden laskemiseksi aika täytyy kuitenkin tietää niin tarkasti kuin mahdollista. Vertaa havainnoissa käytettyä kello esimerksi radion aikamerkkiin tai johonkin hyvin tarkaksi tiedettyyn kelloon. Tämän erotuksen avulla kulminaatioaika voidaan korjata. Aikamerkki kertoo todennäköisesti vyöhykeajan, joka poikkeaa tasatunneilla UTC:stä (Suomessa 2 tuntia, kesäaikana 3 tuntia). Tämän tiedon avulla saadaan kulminointihetkeä vastaava UTC-aika.

Vähentämällä tästä ajasta 12 tuntia saataisiin pituus, mikäli Aurinko olisi etelässä joka päivä tasan kello 12 paikallista aikaa. Valitettavasti Auringon näennäinen liike taivaalla ei ole aivan tasaista. Tämä näkyy Auringon koordinaatteja esittävän taulukon viimeisestä sarakkeesta, joka ilmoittaa kulminaatiohetken Greenwichissä. Vuoden mittaan tämä aika vaeltelee kello 12:n molemmin puolin.

Emme siis vähennä paikallisajasta 12 tuntia, vaan etsimme ensin kulminaatioajan Greenwichissä, ja vähennämme sitten sen paikallisesta ajasta. Tämä erotus antaa erotuksen nollameridiaaniin aikayksiköissä.

Koska yksi täysi kierros, 360 astetta, vastaa 24 tuntia, yksi tunti vastaa 15 astetta. Kun aikaerotus kerrotaan 15:llä, saadaan havaintopaikan pituus asteina.

Jos kulminointi tapahtuu ennen klo 12 UTC, havaintopaikka on itään Greenwichistä; jos sen jälkeen, länteen.

Maan pyörähdysaika on 24*60 = 1440 minuuttia. Siten yhden minuutin virhe kulminaatiohetkessä merkitsee päiväntasaajalla 40000/1440 = 28 kilometriä ja Etelä-Suomessakin vielä 14 kilometriä. Niinpä ajan määrittäminen tulisi tehdä mahdollisimman tarkasti.

Leveysasteen saa usein kohtuullisen tarkasti. Auringon korkeus muuttuu melko hitaasti, joten maksimikorkeuden ajoittaminen tarkasti ei ole kovin helppoa. Siksi pituusasteen virhe on tavallisesti huomattavasti suurempi.

4 Paikallisajan määrittäminen

Havainnoista saadaan myös paikallisaika, jota tarvitaan seuraavassa menetelmässä.

Esimerkki: 1.3.2009 Aurinko kulminoi Greenwichissä 12.2053. Havaintopaikallamme kulminaatioaika on likimain sama (ei ihan, koska poikkeama kello 12:sta muuttuu ajan mittaan, mutta ei nyt välitetä pienistä). Jos havaittu kulminaatioaika oli kellomme mukaan 14.30, kello on 14.5000-12.2053 = 2.2947 tuntia eli 2 h 17 min 41 s edellä paikallisaikaa.

Myöhemmin tämän erotuksen avulla voidaan laskea muiden tapahtumien paikallisajat vähentämällä tämä erotus kellon näyttämästä ajasta. Vielä helpompaa on, jos kellon asettaa näyttämään suoraan paikallisaikaa.

5 Pituuden määrittäminen, kun UTC:tä ei tunneta

Pituusasteen määrittäminen tapahtuu mittaamalla paikallisajan ja jonkin vertailupaikkakunnan ajan erotus. Tehtävä oli hyvin vaikea ennen radiota ja tarkkoja kelloja. Vanhat heilurikellot eivät toimineet kunnolla keinuvassa laivassa. Vihdoin Harrisonin kehittämä merikronometri ratkais ongelman. Jo Galilei esitti toista, täysin erilaista menetelmää. Siinä käytetään taivaan ilmiöitä, joiden tapahtumahetket UTC:nä tunnetaan.

Tarkoitukseen on käytetty Jupiterin neljää Galilein kuuta. Menetelmä on melko tarkka ja yksinkertainen kiinteällä maalla, mutta laivassa kunnollisten havaintojen tekeminen on hankalaa.

Jupiterin kuiden havaitsemiseen tarvitaan kiikaria tai kaukoputkea. Satelliitin kiertäessä Jupiteria se joutuu ajoittain planeetan varjoon ja näyttää katoavan. Maan ja Jupiterin keskinäisestä asemasta riippuen on mahdollista havaita joko pimennyksen alku tai loppu, mutta ei molempia. Koska kuiden kiertoajat ovat suhteellisen lyhyitä (Io 1.769 päivää, Europa 3.551 d, Ganymede 7.155 d, ja Kallisto 16.689 d), pimennyksiä tapahtuu melko usein.

Näiden tapahtumien UTC-aikoja vuodelle 2009 on esitetty erillisessä taulukossa.

Vuonna 2009 Jupiter on Auringon takana ja siis näkymättömissä tammikuun lopulla. Kevään mittaan se ilmestyy aamutaivaalle juuri ennen auringonnousua. Siksi taulukko alkaa vasta loppukeväästä, jolloin havainnot alkavat olla mahdollisia.

Nyt tarvitsee vain havaita tapahtuma ja sen paikallisaika sekä katsoa UTC taulukosta. Kun tunteina laskettu aikaerotus kerrotaan 15:llä, saadaan pituusaste kuten edelläkin.

Jupiterin kuiden liikkeiden teoria on varsin haasteellinen, ja eri versiot antavat hieman erilaisia ennusteita. Pimennyksille eri lahteissa ilmoitetut ajat voivat poiketa jopa muutamalla minuutilla. Siksi ei kannata olla pettynyt, vaikka pituusastetta ei saisikaa kovin tarkasti.