kotisivu |
hakemisto |
kartat |
kohteet |
teoriaa |
matematiikkaa |
Huom: tässä on käytetty seuraavia merkintöjä:
\int tarkoittaa integraalimerkkiä,
\intab on määrätty integraali
a:sta b:hen,
| on sijoitus,
| ab f(x)
= f(b) - f(a).
Integraalilaskennan perustehtävä on, miten lasketaan jonkin mielivaltaisen käyrän y = f(x) rajoittaman pinnan ala.
Osoittautuu, että tehtävä on sukua differentiaalilaskennalle; kyseessä on derivoinnille käänteinen operaatio. Derivointi on helppo mekaaninen toimitus: kaikkien alkeisfunktioiden ja niiden lausekkeiden derivaatat osataan laskea. Integrointi on paljon vaikeampaa. Melko yksinkertaisiakaan funktioita ei välttämättä pystytä integroimaan analyyttisesti. Ne voidaan kuitenkin aina laskea numeerisesti. Toinen mahdollisuus on arvioida funktiota sopivalla sarjakehitelmällä, jolloin se on helposti integroitavissa.
Integraalin arvo saadaan, kun tässä välin pituuden Delta x annetaan lähestyä nollaa. Yhteenlaskettavien kaistaleiden lukumäärä kasvaa samalla rajatta, mutta niiden pinta-alat pienenevät. Jos yhtenlaskettu pinta-ala lähestyy jotakin raja-arvoa, funktio on integroituva.
Tällä tavoin mikä tahansa funktio voidaan aina
integroida numeerisesti: lasketaan vain yhteen
funktion arvot riittävän tiheässä pistejoukossa.
A = F (b) - F (a),
missä F on alkuperäisen funktion f
integraalifunktio. Se on funktio, jonka derivaatta on
f:
d F (x)/dx = f (x)
Jos funktio F toteuttaa tämän vaatimuksen, samoin
tekee F + C, missä C on mikä
tahansa vakio, sillä vakion derivaatta on nolla.
Integraalifunktio ei siten ole yksikäsitteinen.
Tämä ei kuitenkaan vaikuta määrätyn integraalin arvoihin,
sillä vähennyslaskussa F (b) - F (a)
vakion arvot kumoavat toisensa.
Seuraavassa taulukossa on lueteltu joitakin
integraalifunktioita. Integraalifunktion etsimiseen ei
ole samanlaisia yleispäteviä sääntöjä kuin derivointiin. Lopputulos
voidaan aina tarkistaa kokeilemalla, onko integraalifunktion
derivaatta = alkuperäinen funktio.
Integraalifunktio
Voidaan osoittaa, että integraalin arvo on
f (x) | F (x) |
1 / x | ln x |
xn | xn+1 / (n + 1) |
ax | ax / ln a |
ex | ex |
ln x | x ln x - x |
sin x | - cos x |
cos x | sin x |
tan x | - ln cos x |