| kotisivu |
| hakemisto |
| kartat |
| kohteet |
| teoriaa |
| matematiikkaa |
Olkoon meillä jokin vektori x, jonka komponentit ovat (x,y,z). Voimme laskea siitä uuden vektorin x'=(x',y',z'), jonka komponentit ovat alkuperäisten komponenttien lineaarisia kombinaatioita:
x' = a11x +
a12y + a13z,
y' = a21x +
a22y + a23z, (1)
z' = a31x +
a32y + a33z,
missä kertoimet aij ovat vakioita. Tällainen muunnos on lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin x vektoriksi x'.
Voimme koota lineaarikuvauksen määritelmässä esiintyvät kertoimet matriisiksi A:
| a11 a12 a13 |
A = | a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
Matriisin alkiohin viitataan kahdella alaindeksillä, joista ensimmäinen ilmoittaa vaakarivin ja jälkimmäinen sarakkeen.
Matriisiformalismia käytettäessä vektorit on kätevintä kirjoittaa pystyvektoreiksi:
| x |
x = | y |
| z | .
Nyt määrittelemme, että matriisin A ja tällaisen pystyvektorin tulo on pystyvektori, jonka komponentit ovat juuri yhtälöiden (1) mukaiset. Yhtälö
x'=A x
eli
| x' | | a11 a12 a13 | | x | | y' | = | a21 a22 a23 | | y | | z' | | a31 a32 a33 | | z |
tarkoittaa siis samaa kuin
x' = a11x + a12y + a13z, y' = a21x + a22y + a23z, z' = a31x + a32y + a33z,
Vertaamalla näitä yhtälöitä näemme, että esimerkiksi x':n ensimmäinen komponentti saadaan ottamalla matriisin ensimmäinen vaakarivi ja kertomalla sen alkioilla vektorin x komponentit ja laskemalla tulot yhteen.
Tämä määritelmä on helppo yleistää myös kahden matriisin tulolle. Matriisin
C = A B
alkiot ovat
cij = sumk aik bkj.
Tämä on helppo muistaa, kun huomaa, että vasemmanpuoleisesta tekijästä A otetaan vaakarivi ja oikeanpuoleisesta tekijästä B pystyrivi laskettavan alkion kohdalta ja lasketaan näin muodostettujen vektorien skalaaritulo. Esimerkiksi
| 1 1 1 | | 1 2 0 | | 1+2+1 2+1+3 0+1+2 | | 4 6 3 | | 0 1 2 | | 2 1 1 | = | 0+2+2 0+1+6 0+1+4 | = | 4 7 5 | | 1 2 3 | | 1 3 2 | | 1+4+3 2+2+9 0+2+6 | | 8 13 8 |
Matriisien kertolaskussa on oltava huolellinen tekijöiden järjestyksen kanssa, sillä tavallisesti AB ei ole sama kuin BA.
Kertomalla edellisen esimerkin matriisit toisessa järjestyksessä saadaan
| 1 2 0 | | 1 1 1 | | 1 3 5 | | 2 1 1 | | 0 1 2 | = | 3 5 7 | | 1 3 2 | | 1 2 3 | | 3 8 13 |
siis aivan eri matriisi kuin edellä.
| 1 0 0 |
I = | 0 1 0 |
| 0 0 1 |
Matriisin ja vektorin välisen tulon määritelmästä näemme, että yksikkömatriisilla kertominen ei muuta vektoria.
det(A) = a11 (a22a33-a23a32) +a12 (a23a31-a21a33) +a13 (a21a32-a22a31)
Esimerkiksi edellä esiintyneen matriisin determinantti on
| 1 2 0 |
det | 2 1 1 | = 1 (2 - 3) + 2 (1 - 4) + 0 (6 - 1) = -1 - 6 + 0 = -7
| 1 3 2 |
Yleisen n×n matriisin determinantti voidaan laskea esimerkiksi kehittämällä se ensimmäisen vaakarivin mukaan alideterminanttien summaksi
det(A) = sum (-1)i A1i det(A'i)
missä A'i on matriisi, josta alkuperäisestä matriisista on poistettu ensimmäinen vaakarivi ja sarake i. Kukin alideterminantti voidaan edelleen laskea soveltamalla samaa sääntöä rekursiivisesti.
Käytännön numeerisissa laskuissa tätä menetelmää ei kannata käyttää. Käytännön laskuja tarvitaan seuraavia tietoja:
Matriisien tulon determinantti on matriisien determinanttien tulo:
det(A B) = det(A) det (B)
Jos matriisi on lävistäjämatriisi (jossa vain lävistäjällä olevat alkiot A11, A22, ... ovat nollasta poikkeavia, determinantti on näiden lävistäjäalkioiden tulo. Samoin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo, jos matriisi on kolmiomatriisi, jossa kaikki lävistäjän ylä- tai alapuolella olevat alkiot ovata nollia.
Matriisi voidaan hajottaa ala- ja yläkolmiomatriisien tuloksi:
A = L U,
missä L on matriisi, jossa kaikki lävistäjän yläpuolella olevat alkiot ovat nollia. Lisäksi lävistäjän alkiot ovat ykkösiä. U puolestaan on yläkolmiomatriisi, jossa lävistäjän alapuoliset alkiot ovat nollia.
Menetelmiä hajotelman laskemiseksi löytyy lukuisista numeriikan oppikirjoista ja alan kurssien kurssimateriaalista.
Tällaisen LU-hajotelman avulla alkuperäisen matriisin determinantti on yksinkertaisesti matriisin U lävistäjällä olevien alkioiden tulo.
Esimerkkimatriisin LU-hajotelma on
| 1 2 0 | | 1 0 0 | | 1 2 0 | | 2 1 1 | = | 2 1 0 | | 0 -3 -0.333 | | 1 3 2 | | 1 1 1 | | 0 0 2.333 |josta determinantti on
1 × (-3) × 2.333 = -7.
Jos kahden matriisin tulo on yksikkömatriisi, matriisit ovat toistensa käänteismatriiseja. Matriisin A käänteismatriisille käytetään merkintää A-1. Sille pätee
A-1A = AA-1 = I.
Kaikilla matriiseilla ei ole käänteismatriisia. Jos käänteismatriisia ei ole, matriisia sanotaan singulaariseksi. Singulaarista matriisia voidaan ajatella operaationa, joka hukkaa informaatiota niin, ettei käänteinen operaatio ole enää mahdollinen. Matriisi on singulaarinen, jos ja vain jos sen determinantti on nolla.
Matriisin kääntäminen on melko työläs toimenpide. Käytännössä senkin voi tehdä helpommin LU-hajotelman avulla.
| 1 0 0 |
Rx(u) = | 0 cosu sinu |
| 0 -sinu cosu |
| cosu 0 sinu |
Ry(u) = | 0 1 0 |
| -sinu 0 cosu |
| cosu sinu 0 |
Rz(u) = | -sinu cosu 0 |
| 0 0 1 |
Jos kulma u=0, jäljelle jää yksikkömatriisi, kuten tietysti pitääkin.
Kiertomatriisin muoto on helppo päätellä. Esimerkiksi kierto x-akselin ympäri jättää x-koordinaatin muuttumattomaksi, joten ensimmäisen vaaka- ja pystyrivin täytyy sisältää nollia lukuunottamatta lävistäjällä olevaa alkiota, jonka on oltava ykkönen. Jäljelle jää neljä alkiota; niistä lävistäjälle täytyy tulla kosinit, ja muiksi alkioiksi sinit, jotta matriisi olisi yksikkömatriisi, kun u=0. Ainoa hankalampi ongelma on, kumpi sineistä saa miinusmerkin. Tämä on helpointa tutkia kokeilemalla matriisin vaikutusta esimerkiksi johonkin kantavektoriin.
Kiertomatriisin käänteismatriisi suorittaa kierron vastakkaiseen suuntaan, joten se saadaan alkuperäisestä matriisista korvaamalla kulma u kulmalla -u. Tämän ainoa vaikutus matriisin muotoon on, että sinien etumerkit vaihtavat paikkoja keskenään.
Esimerkiksi prekessiota kuvaava matriisi on kolmen kiertomatriisin tulo. Koska matriisitulo ei ole vaihdannainen, nämä kierrot on suoritettava oikeassa järjestyksessä.