kotisivu |
hakemisto |
kartat |
kohteet |
teoriaa |
matematiikkaa |
Analyyttisesti derivointi on helppoa, mutta integrointi vaikeaa. Numeriikassa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen satunnaiset virheet kumoavat toisensa. Jo varsin yksinkertaisella menetelmällä voidaan saavuttaa kohtuullinen tarkkuus.
Funktio f on integroituva välillä
[x1=a, xn=b], jos
Riemannin summalla
R = \sumi=1n-1
f (zi) hi,
missä
hi =
xi+1 - xi,
xi <= zi
<= xi+1,
on raja-arvo, kun jaon silmä
h = maxi { hi } -> 0.
Muuttamalla jakovälejä ja pisteiden zi
valintaa saadaan erilaisia integrointimenetelmiä.
Jaetaan integroimisväli yhtä leveisiin viipaleisiin.
Olkoon kunkin leveys h.
1) Lasketaan integroitava kunkin välin alkupisteessä:
\intx0xn
f (x) dx
= h( f (x0) +
f (x0 + h) + ... +
f (x0 + (n - 1) h) ).
Esimerkki:
I = \int01 x2 d x.
Oikea arvo on 1/3. Lasketaan
nyt integraalin likiarvo jakamalla integroimisväli
neljään osaan.
I4 =
(1 / 4) (0 + (1 / 16) + (1 / 4) + (9 / 16))
= (14 / 64) \approx 0.219.
Koska integroitava funktio on koko välillä kasvava
ja funktio lasketaan välin alkupäässä, saadaan liian pieni arvo.
2) Lasketaan arvo välin keskikohdalla
\intx0xn
f (x) d x
= h (f (x0 + h/2) +
f (x0 + 3 h / 2) + ... ).
I4 =
(1 / 4) ( (1 / 64) + (9 / 64) + (25 / 64) + (49 / 64) )
= (21 / 64) \approx 0.328.
\int f (x ),d x
Esimerkkitapaus
I4
Lasketaan ensin integraali yhden osavälin yli.
Newtonin-Gregoryn interpolointikaavan mukaan on
f (x) \approx
f0 +
s \Delta f0 +
(s (s-1) / 2) \Delta2 f0.
\intx0 x2
f (x ) d x
Sijoitetaan tähän
\Delta f0 =
f1 - f0
Integraali kahden jakovälin yli on
\intx0 x2
f (x ) d x
\approx (h / 3)
(f0 + 4 f1 + f2).
Integraali koko välin yli on
\intx0 xn
f (x ) d x
Jakovälejä oltava parillinen määrä.
Esimerkkitapaus:
I4 = (1 / 12)
[0 + 4 (1 / 16) + 2 (1 / 4) + 4 (9 / 16) + 1]
Tässä integroitavaa approksimoitiin toisen asteen polynomilla.
Koska integroitava itse on toista astetta, tulos on tarkka.
\Delta f0 =
f1 - f0
\approx h (df / d x)
Lineaarinen interpolaatio: virhe luokkaa
h2 f" (x ).
Kun tämä integroidaan yhden osavälin yli
saadaan lokaali virhe. Välin leveys on h,
joten integraali on luokkaa
h3 f" (z ),
missä z on jokin välin piste.
Välejä on 1/h kappaletta, joten globaali virhe
on luokkaa h2 f" (z ).
Simpsonin menetelmässä lokaali virhe on
kertalukua h3 ja globaali virhe
h4.
Oletetaan, että funktio
on korkeintaan n-asteinen polynomi. Yritetään
löytää sellaiset pisteet xi
ja kertoimet wi,että
\sum wi f ( xi)
antaa polynomien integraaleille
täsmälleen oikean arvon.
Esimerkki:
käytetään vain kahta pistettä. Valitaan vielä
integroimisväli symmetriseksi, [-1, 1].
Jotta kaava toimisi
oikein kaikille astetta n astetta oleville
polynomeille, sen on annettava oikeat arvot myös
funktioiden 1, x, x2, ... ,
xn
integraaleille:
\int-11 1 dx
= 2 = w1 + w2,
Tässä on neljä yhtälöä ja neljä tuntematonta,
w1, w2,
x1 ja x2. Toinen ja neljäs
yhtälö toteutuvat, jos valitaan
x2 = -x1 ja
w1 = w2.
Silloin ensimmäisen yhtälön
perusteella on w1 = w2 = 1,
ja kolmannesta yhtälöstä saadaan
x1 = -x2=1/\sqrt 3.
Yleiset kolmannen asteen polynomit saadaan
edellä esiintyneiden funktioiden lineaarikombinaatioina.
Siten mielivaltaiselle korkeintaan kolmatta astetta
olevalle polynomille p3 pätee
\int-11 p3(x ) d x
= p3(1 / \sqrt 3) +
p3(- 1 / \sqrt 3).
Kokeillaan
\int-11
(x3 + 2x2 + 1) d x =
Sama Gaussin kahden pisteen kvadratuurilla:
\int-11
(x3 + 2x2 + 1) d x =
Korkeampaa astetta oleville polynomeille saadaan
vastaavat yhtälöt, joiden ratkaiseminen on
työlästä. Pisteiden xi ratkaiseminen suoraan
yhtälöryhmistä ei ole
kovin käytännöllistä. Siksi polynomit esitetäänkin
ensin jonkin ortogonaalin kantafunktiojoukon avulla.
Jos pisteitä on n kappaletta, niiden paikat ovat
Legendren polynomin Pn (x) nollakohtia.
P0 (x ) = 1,
Esim. kolmen pisteen menetelmän pisteet
saadaan yhtälöstä 5x3-3x=0, josta
x1=-\sqrt(3/5)=-0.7746,
x2=0,
x1=\sqrt(3/5)=0.7746$.
Näitä ei kannata ratkaista joka kerta
uudestaan, vaan käytetään valmiiksi taulukoituja arvoja.
Pistettä xi vastaava paino on
wi =
[2 / (1-xi2)
(P' (xi )) 2 ].
Polynomien derivaatat saadaan kaavoista
P'0 (x ) = 0,
Mielivaltainen integroimisväli voidaan muuntaa
väliksi [-1, 1] sijoituksella
y = (b - a) t / 2 +
(b + a) / 2,
d y = (b - a)/2 d t,
jolloin integraali on
\intab
f (y ) d y =
(b - a)/2
\sum wi f( yi),
missä
yi =
((b - a)/2) xi +
(b + a)/2.
Esimerkki:
\int0\pi/2 sin x d x
Lasketaan tämä Gaussin kolmen pisteen menetelmällä.
Integroimisvälin muunnos on
yi =
(\pi / 4) xi + \pi / 4.
Integraalin laskemiseen tarvitaan seuraavat suureet:
Riemannin summa
Puolisuunnikasmenetelmä
Integroitava alue jaetaan puolisuunnikkaan muotoisiin
viipaleisiin.
= h [
(f0 + f1)/2 +
(f1 + f2)/2 + ...
(fn-1 + fn)/2 ]
= (h / 2)
(f0 +
2f1 +
2f2 + ... +
2fn-1 +
fn)
= (h / 2)
[f (x0 ) +
2 f (x0 + h ) +
2 f (x0 + 2h ) +
...
2 f (x0 + (n-1)h ) +
f (x0 + nh) ]
= (1 / 8) [
0 + 2 (1 / 16) + 2 (4 / 16) +
2 (9 / 16) + 1 ]
= (1 / 8) (44 / 16) \approx 0.344.
Simpsonin menetelmä
Käytetään mutkikkaampia käyriä, jotka kuvaavat alkuperäistä
funktiota vielä paremmin kuin suorat.
Luonnollinen parannus on toisen asteen käyrä.
\approx
\intx0 x2
(f0 +
s\Delta f0 +
(s(s-1)/ 2) \Delta2
f0) dx
= h \int02
(f0 +
s\Delta f0 +
(s(s-1)/ 2) \Delta2
f0) d s
= h (2 f0 +
2 \Delta f0 +
(1 / 3) \Delta2f0)
= (h / 3) (6 f0 + 6 \Delta f0
+ \Delta2 f0 )
\Delta2 f0 =
\Delta f1-\Delta f0 =
(f2 - f1) -
(f1 - f0)
= f0 - 2 f1 + f_2.
\approx (h / 3)
(f (x0) +
4 f (x0+h ) +
2 f (x0+2h ) +
4 f (x0+3h ) +
2 f (x0+4h ) +
...
4f (x0+(n-1)h) +
f (x0+nh).
= 16 / (12 x 4) = 1 / 3.
Virhearvio
Interpolointipolynomin virhe on korkeintaan
samaa luokkaa kuin ensimmäinen poisjätetty termi.
\Delta2 f0 =
\Delta f1 - \Delta f0
\approx h2
(d2 f / dx2)
...
Gaussin kvadratuuri
Tilannetta voidaan parantaa valitsemalla
jakopisteet xi jollakin muulla
tavoin kuin tasavälisesti.
\int-11 x dx
= 0 = w1x1 +
w2x2,
\int-11 x2 d x
= (2 / 3) = w1x12 +
w2x22,
\int-11 x3 d x
= 0 = w1x13 +
w2x23.
\subst-11
x4 / 4 + 2x3 / 3 + x =
= (1 / 4) + (2 / 3) + 1 - ( (1 / 4) - (2 / 3) - 1)
= 10 / 3.
= 1 / (3 \sqrt 3) + (2 / 3) + 1 -
( 1 / (3 \sqrt 3) - (2 / 3) - 1)
= 10 / 3.
P1 (x ) = x,
P2 (x ) =
(1 / 2) ( 3x2 - 1),
P3 (x ) =
(1 / 2) ( 5x3 - 3x),
...
(2n+1) x Pn (x ) =
(n+1) Pn+1(x ) +
n Pn-1 (x ).
P'1 (x ) = 1,
P'2 (x ) = 3 x,
P'3 (x ) =
(1 / 2) (15 x2 - 3),
...
P'n+1 (x ) =
P'n-1 (x ) +
(2n + 1) Pn (x ).
i w_i x_i y_i w_i sin y_i
-1 0.55555 55556 -0.77459 66692 0.17703 13620 0.09783 78406
0 0.88888 88889 0.00000 00000 0.78539 81634 0.62853 93611
1 0.55555 55556 0.77459 66692 1.39376 49648 0.54687 26838
\sum 1.27324 98855
Integraalin arvo on
(\pi /4) 1.27324 98855 \approx 1.000008.
Integraalin tarkka arvo on 1. Kolmen pisteen integrointikaavalla
saatiin tulos, jonka suhteellinen virhe on alle 10-5.
n x_i w_i
2
0.57735 02691 89626 1.00000 00000 00000
3
0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88889
0.77459 66692 41484 0.55555 55555 55556
4
0.33998 10435 84856 0.65214 51548 62546
0.86113 63115 94053 0.34785 48451 37453
5
0.00000 00000 00000 0.56888 88888 88889
0.53846 93101 05684 0.47862 86704 99366
0.90617 98459 38664 0.23692 68850 56189
6
0.23861 91860 83197 0.46791 39345 72691
0.66120 93864 66265 0.36076 15730 48138
0.93246 95142 03152 0.17132 44923 79171
7
0.00000 00000 00000 0.41795 91836 73469
0.40584 51513 77398 0.38183 00505 05118
0.74153 11855 99395 0.27970 53914 89277
0.94910 79123 42759 0.12948 49661 68868
8
0.18343 46424 95650 0.36268 37833 78362
0.52553 24099 16329 0.31370 66458 77887
0.79666 64774 13627 0.22238 10344 53375
0.96028 98564 97536 0.10122 85362 90376
9
0.00000 00000 00000 0.33023 93550 01260
0.32425 34234 03809 0.31234 70770 40003
0.61337 14327 00590 0.26061 06964 02935
0.83603 11073 26636 0.18064 81606 94857
0.96816 02395 07626 0.08127 43883 61575