Sarjakehitelmiä

Tarkastellaan yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota f:R -> R. Funktion kuvaajan pisteeseen x0 asetetun tangentin yhtälö on

y = f(x0) + f'(x0) (x-x0),

missä f'(x0) on funktion f derivaatan df/dx arvo pisteessä x0. Jos nyt x on lähellä x0:aa, ovat itse funktion ja sen tangentin kuvaajat lähellä toisiaan pisteessä x. Funktion arvoa tässä pisteessä voidaan niin ollen arvioida tangentin avulla:

f(x) = f(x0) + f'(x0) (x - x0).

Tämä arvio on sitä huonompi, mitä enemmän derivaatta f' muuttuu välillä [x0, x]. Tätä muutosta puolestaan kuvaa toinen derivaatta f'' jne. Mitä tarkempi tulos halutaan sitä korkeampia derivaattoja on otettava mukaan. Voidaan osoittaa, että funktion arvo pisteessä x on

f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) +
(1/2) f''(x0) (x-x0)2 + ... + (1/n!) f(n) (x0) (x-x0)n + ...

missä f(n)(x0) on funktion n:nnen derivaatan arvo pisteessä x0 ja n! on n-kertoma = 1×2×3×...×n. Tätä sarjaa sanotaan funktion f Taylorin sarjaksi pisteessä x0.

Seuraavassa eräitä useimmin käytettyjä sarjoja. Kaikissa näissä on x0 = 0; tällaista sarjaa kutsutaan joskus myös MacLaurinin sarjaksi.

Monissa käytännön tapauksissa nämä sarjat suppenevat varsin nopeasti, jolloin riittää ottaa mukaan vain muutama ensimmäinen termi. Suurimpana hyötynä tästä on mahdollisuus korvata monimutkaisissa lausekkeissa esiintyvät hankalat funktiot kuten neliöjuuret yksinkertaisilla polynomeilla, jolloin lausekkeita pystytään usein sieventämään huomattavasti. Tavallisimmin käytettyjä ovatkin esimerkiksi seuraavat lineaariapproksimaatiot:

(1 + x)1/2 = 1 + x/2,
1 / (1 + x)1/2 = 1 - x,

jne.