Yhtälön ratkaiseminen numeerisesti

Usein törmätään yhtälöihin, joita ei osata ratkaista analyyttisesti. Keplerin yhtälö on tällaisesta tyypillinen esimerkki. Ellei yhtälölle osata tehdä muuta, voidaan aina käyttää raakaa voimaa ja ratkaista se numeerisesti. Erilaisia menetelmiä on suuri joukko. Seuraavassa esitetään kaksi yksinkertaista menetelmää, joilla jo selviytyy monista tilanteista. Niistä erityisesti ensimmäinen soveltuu hyvin laskukoneille.

Suora iterointi

Kirjoitetaan yhtälö muotoon

f(x) = x.

Arvataan jokin likiarvo ratkaisulle tai arvioidaan se graafisesti. Merkitään tätä lähtöarvoa x₀:lla. Lasketaan x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁), jne, kunnes peräkkäiset x:n arvot eroavat vähemmän kuin tarkkuudelle asetettu vaatimus. Viimeinen x:n arvo on tällöin yhtälön ratkaisu. Kun muutama ensimmäinen x:n arvo on laskettu, nähdään alkavatko ne supeta. Mikäli x:n arvot rupeavat hajaantumaan, ei kannata jatkaa, vaan muutetaan yhtälö muotoon

f^-1(x) = x

ja yritetään uudestaan. f^-1 on f:n käänteiskuvaus.

Esimerkiksi yritetään ratkaista yhtälö x = -ln x. Arvataan x₀ = 0.5 ja lasketaan

x₁ = -ln 0.5 = 0.69,
x₂ = 0.37,
x₃ = 1.00.

Tästä jo nähdään, että eihän hommasta mitään tule.

Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = e^-x ja aloitetaan alusta:

x₀ = 0.5,
x₁ = e^-0.5 = 0.61,
x₂ = 0.55,
x₃ = 0.58,
x₄ = 0.56,
x₅ = 0.57,
x₆ = 0.57.

Kahden desimaalin tarkkuudella ratkaisu on siis 0.57.

Välinpuolitusmenetelmä

Joskus saattaa käydä niin, ettei edellä esitetty menetelmä suostu millään suppenemaan. Tällöin voidaan käyttää idioottivarmaa välinpuolitusmenetelmää. Jos funktiolle f löytyy kaksi pistettä, joissa toisessa f on positiivinen ja toisessa negatiivinen ja funktio on jatkuva näiden pisteiden välillä, täytyy yhtälön f(x) = 0 ratkaisun olla tällä samalla välillä. Lasketaan funktion arvo välin puolivälissä, ja valitaan se välin puolikas, jonka päätepisteissä f:n arvot ovat erimerkkiset. Puolitetaan taas tämä väli jne. Jatketaan välien pilkkomista, kunnes haluttu tarkkuus on saavutettu.

Ratkaistaan edellä ollut yhtälö tällä menetelmällä. Yhtälö on nyt f(x) = 0, missä f(x) = x + ln x. Koska f(x) lähestyy -ääretöntä, kun x -> 0, ja f(1) > 0, on ratkaisu välillä (0,1). Lasketaan f(0.5)< 0, joten ratkaisu x on välillä (0.5, 1). Jatketaan tällä tavoin:

f(0.75) > 0 =>
0.5 < x < 0.75,
f(0.625) > 0 =>
0.5 < x < 0.625,
f(0.563) < 0 =>
0.563 < x < 0.625,
f(0 594) > 0 =>
0.563 < x < 0.594,

Suppeneminen on hidasta, mutta varmaa.