Almagestin matematiikkaa

Muut luvut saadaan yhdistelemällä näitä merkkejä. Esimerkiksi sigma-ny-gamma=253. Varsinaisten kreikkalaisten kirjainten lisäksi joukossa on esitystavasta riippuen 2-3 merkkiä, jotka ovat peräisin kreikankielen vanhemmasta foinikialaisiin aakkosiin perustuvasta kirjaimistosta. Näiden ohella Almagestissä esiintyy nollaa esittävä merkki (o-kirjain, jonka päällä on viiva) sekä joukko ykköstä pienempiä murtolukuja tarkoittavia merkkejä, jotka tunnistaa kirjaimen päällä olevista heittomerkeistä.

Nuolenpääkirjoituksissa käytettiin johdonmukaista 60-kantaista esitystapaa. Ptolemaios käyttää sitä vain luvun ykköstä pienemmälle osalle. Esimerkiksi 110.5 on rho-iota-lambda eli 100+10 kokonaista ja 30 kuudeskymmenesosaa. Nuolenpääkirjoituksissa myös kokonaisosa olisi esitetty 60-kantaisella paikkamerkinnällä: 1 50 30. Myöhempinä aikoina kulmien sekunteihin alettiin vielä liittää desimaaliosia, minkä tuloksena syntyivät sellaiset kolmea eri esitystapaa sisältävät sekasikiöt kuin 110° 29' 55,1".

Ptolemaioksen käyttämällä merkintätavalla lienee ollut merkittävä vaikutus siihen, että se jäi yleiseen käyttöön kulmayksiköiden yhteydessä. Jos haluamme Ptolemaiosta syyttää jostakin, oikea kohde on tämä tarpeettoman hankala merkintätapa, joka pysynee vaivanamme vielä pitkään. Tosin suurempia syyllisiä ovat taaskin jälkipolvet, jotka aina vain pitävät kiinni perinteistä, vaikka ne olisivat miten hölmöjä tahansa.

Kirjan I alussa Ptolemaios perustelee perusolettamuksiaan, joiden mukaan Maa on pallomainen ja liikkumaton sekä sijaitsee maailmankaikkeuden keskipisteessä.

Kirjassa I esitellään myös muutamia geometrisia aputuloksia. Yhtä niistä voidaan pitää jonkinlaisena trigonometrian edeltäjänä. Jos sijoitamme kulman a ympyrän keskelle, kulman sivut leikkaavat ympyrän kehän kahdessa pisteessä. Näitä pisteitä yhdistävän janan pituutta voimme kutsua kulman a jänteeksi. Jos kiinnitämme ympyrän säteen, kulmat ja jänteet vastaavat toisiaan täysin yksikäsitteisellä tavalla.

Almagestin I kirjassa Ptolemaios kertoo jakavansa ympyrän halkaisijan 120 osaan. Ympyrän säde on siis 60 yksikköä. Käytetään kulmaa a vastaavalle jänteelle merkintää chd a. Jänteen pituus on silloin

chd a = 2 r sin (a/2) = 120 sin (a/2).

Tämä on siis yhteys, joka liittää toisiinsa Ptolemaioksen jänteet ja nykyisin käytetyt trigonometriset funktiot.

I kirjassa Ptolemaios taulukoi kulmia vastaavat jänteet puolen asteen välein. Kyseessä on siten trigonometristen taulukoiden edeltäjä. Lisäksi kunkin kulman jälkeen on laskettu, kuinka paljon jänne kasvaa kulman kasvaessa 1/60 astetta. Näiden lukujen avulla on helppo interpoloida jänteen pituus niille kulmille, jotka eivät satu olemaan täysiä puolia asteita. Menetelmää käytetään nykyisinkin monissa taulukkoteoksissa.

Kaikkien näiden jänteiden laskeminen lähtemällä geometrisista konstruktioista olisi hirvittävä urakka. Siksi Ptolemaios todistaakin aluksi muutamia aputuloksia. Nykyaikaisemmalla merkintätavalla voimme esittää nämä siten, että jos chd a ja chd b tunnetaan, chd (a - b), chd (a + b) ja chd a/2 voidaan laskea.

Esimerkiksi kuusikulmion sivua vastaava kulma on 60°. Puolittamalla tätä saadaan kulmia 30° ja 15° vastaavat jänteet. Viisikulmiosta puolestaan saadaan kulmia 72°, 36°, 18° vastaavat jänteet. Edelleen 18°-15°=3°, josta saadaan 1 1/2 ° vastaava jänne. Lisäämällä puoltatoista astetta itseensä voidaan laskea kaikkia sen monikertoja vastaavat jänteet. Väliin jää kuitenkin vielä joukko kulmia, joita vastaavien jänteiden laskeminen ei onnistu tällä tavalla. Ptolemaios tyytyykin johtamaan riittävän tarkan arvion puolta astetta vastaavalle jänteelle. Tämän ja jo laskettujen jänteiden avulla voidaan loputkin jänteet laskea.

Almagestin II kirjassa yleisen teorian käsittely jatkuu. Se on esitys pallotrigonometrian ja pallotähtitieteen yleisistä perusteista. Luku kattaa suunnilleen samat asiat kuin tähtitieteen yliopistollisen peruskurssin pallotähtitieteen osuus

II kirja käsittelee erityisesti päivän pituutta eri leveyksillä. Pohjoisimmat leveydet, joista annetaan muutakin kuin tähtitieteellistä tietoa, ovat:

xxix. Ja missä pisin päivä on 20 ekvatoriaalista tuntia, siellä leveyspiiri on 63° ekvaattorista ja kulkee Thulen saaren kautta.

xxx. Ja missä pisin päivä on 21 ekvatoriaalista tuntia, siellä leveyspiiri on 64 1/2 ° ekvaattorista ja kulkee tuntemattomien skyyttien maiden kautta.

Tästä pohjoiseen maapallo olikin sitten täysin terra incognita. Ptolemaios toki kuvaa Auringon liikkeen oikein eri leveyksillä aina pohjoisnavalle saakka.