kotisivu |
hakemisto |
kartat |
kohteet |
teoriaa |
taivaanmekaniikkaa |
Yhtälön johto
Keplerin toisen lain mukaan pintanopeus
on vakio, joten kuvan vaaleansinisen alueen pinta-ala on
A = pi ab (t-t0) / P,
missä t-t0 on perihelin ohituksesta kulunut aika ja P planeetan kiertoaika. Toisaalta ellipsin eri osien pinta-alat saadaan vastaavien ympyrän osien pinta-aloista pienentämällä niitä ellipsin akselien suhteella b/a. Niin ollen alueen SPX pinta-ala on
A = b/a (SQX:n pinta-ala)
= b/a (sektorin CQX ala - kolmion CQS ala)
= b/a [(1/2)a a E - (1/2) ae a sin E ]
= (1/2) ab (E - e sin E).
Asettamalla nämä pinta-alan lausekkeet yhtä suuriksi saadaan Keplerin yhtälö
E - e sin E = M,
missä
M = 2 pi (t-t0) / P,
on planeetan keskianomalia hetkellä t.
Huomaa, että e sin E on paljas luku.
Siksi muidenkin yhtälössä esiintyvien termien on
oltava sellaisia. Kulmat M ja E on siis
ehdottomasti lausuttava radiaaneina!
Yhtälön ratkaiseminen
Eksentristä anomaliaa ei voi ratkaista suljetussa
muodossa Keplerin yhtälöstä. Yhtälö voidaan kuitenkin
ratkaista helposti iteroimalla. Kirjoitetaan se aluksi
muotoon
E = M + e sin E.
Kun eksentrisyys on pieni, keskianomalia ja eksentrinen anomalia ovat likimain samoja. Arvataan siis E0 = M ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle. Yhtälöstä voidaan nyt laskea uusi tarkempi E :n arvo:
E1 = M + e sin E0.
Tätä toistetaan, kunnes E :n arvot eivät enää muutu.
Lasketaan esimerkin vuoksi Jupiterin eksentrinen anomalia 23.8.1996, jolloin sen M = 277.7940° = 4.8484 rad. Jupiterin radan eksentrisyys on e = 0.0484.
E0 = M = 4.8484,
E1 = M + e sin E0 = 4.8004,
E2 = M + e sin E1 = 4.8002,
E3 = M + e sin E2 = 4.8002.
Koska tällä tarkkuudella peräkkäiset E :n arvot eivät enää muutu, on ratkaisu E = 4.8002 rad = 215.0°.
Suppeneminen on sitä hitaampaa, mitä suurempi on
eksentrisyys. Suppenemista voidaan nopeuttaa valitsemalla
alkuarvo hieman älykkäämmin. Useimpiin käytännön tarkoituksiin
ylläoleva menetelmä on kuitenkin aivan riittävä.
Sarjakehitelmä
Eksentrinen anomalia voidaan kehittää potenssisarjaksi
eksentrisyyden suhteen. Lasku johtaa ns. Besselin funktioihin,
emmekä puutu siihen tässä. Jos mukaan otetaan korkeintaan
eksentrisyyden kolmatta potenssia sisältävät termit,
saadaan lauseke
E = M + e sin M + (e2 / 2) sin 2M + (e3 / 8) (- sin M + 3 sin 3M).