| kotisivu |
| hakemisto |
| kartat |
| kohteet |
| teoriaa |
| historia |
Siirrymme nyt ajassa eteenpäin sen verran, että kirjoitustaito ehditään keksiä. Sen keksivät toisistaan riippumatta useat eri kulttuurit, kuten sumerit, kiinalaiset ja Keski-Amerikan intiaanit. Kaikki nämä kirjoitukset olivat aluksi kuvakirjoitusta, jossa kukin symboli edusti kokonaista käsitettä.
Mesopotamian kulttuureista vanhin tunnettu on sumerien kulttuuri. Sumerit asettuivat alueelle kolmisentuhatta vuotta eaa. He rakensivat ensimmäiset huomattavat kaupungit, joista kuuluisimpia ovat Ur, Eridu, Lagash ja Uruk.
Sumerien kuvakirjoituksesta kehittyi nuolenpääkirjoitus. Siinä kukin merkki edusti vokaalia ja yhtä tai kahta konsonanttia; se oli siis tavukirjoitusta. Erilaisten merkkien lukumäärä oli kuitenkin vielä melkoinen, viitisensataa.
Kuningas Sargon I perusti Agaden (Akkadin) kaupungin noin 2300 eaa. Sargonin vaikutuksesta kaksoisvirran alueelle syntyi ensimmäisen kaupunkivaltioita laajempi valtakunta. Tämä Akkadin valtio sai nimensä Agaden kaupungin mukaan.
Vuonna 1894 eaa. Babylonin kaupungin ympärille muodostui pieni kuningaskunta. Ennen pitkää Babylon kohosi eteläisen Mesopotamian keskukseksi ja aikansa suurimmaksi kaupungiksi. Huomattavin sen hallitsijoista on laeistaan kuuluisa kuningas Hammurabi (1792-1750 eaa.). Suurin osa Mesopotamian vanhimmista matemaattisista ja tähtitieteellisistä teksteistä on peräisin juuri Hammurabin hallitsijasuvun ajalta, noin 1800-1600 eaa.
Akkadeilla oli oma kielensä, joka oli sukua seemiläisille kielille, arabialle, aramealle ja heprealle. Akkadi oli myös Babylonin puhekieli. Sumerin kielen taitoa kuitenkin pidettiin yllä, sillä se oli jonkinlainen vanha pyhä kieli, jota käytettiin sekä virallisissa yhteyksissä että kaunokirjallisuudessa.
Sumerien nuolenpääkirjoitus ei ollut niin vahvasti sidoksissa kehittäjiensä omaan kieleen kuin esimerkiksi egyptiläisten hieroglyfit. Se oli riittävän joustavaa, jotta myös akkadit ja myöhemmin muutkin naapurikansat alkoivat käyttää sitä, vaikkei se täydellisesti sopinutkaan noihin rakenteeltaan erilaisiin kieliin. Nuolenpääkirjoituksesta tuli joka tapauksessa aikansa ylikansallinen kirjoitusmenetelmä.
Tämä vaikeutti aluksi nuolenpääkirjoitusten tulkintaa. Kesti aikansa ennen kuin huomattiin, ettei kysymyksessä ollutkaan yksi ainoa kieli. Apuna tulkinnassa ovat olleet useat löytyneet kaksikieliset sanaluettelot, joista osa on ilmeisesti kirjurioppilaiden sumerinkielen tunneilla tekemiä harjoitustehtäviä.
Kahdelle tähdelle käytetään yhä sumerinkielisiä nimiä. Toinen niistä on Skorpionin theta-tähti. Itse asiassa se tunnetaan kahdella vaihtoehtoisella nimellä, jotka molemmat ovat sumerinkielisiä: Girtab tarkoittaa skorpionia ja Sargas (alunperin SAR.GAZ) lienee puhdas erisnimi. Toinen tähti on Jousimiehen sigma-tähti Nunki. Nunki on erisnimi, joka tarkoitti Eridun kaupungin taivaallista vastinetta.
Akkadinkielisiä nimiä sen sijaan ei ole jäänyt käyttöön. Tosin Richard Allen mainitsee kirjassaan Star-Names (1899) Leijonan rho Leoniksen nimen Maru-sha-arkat-sharru, joka mahdollisesti tarkoittaa neljättä poikaa kuninkaan takana. Pentti Kalaja (1983) on sisällyttänyt tämän tähtien nimien suositukseensa, mutta yleisessä käytössä se ei ole.
Tigris-joen yläjuoksun kaupunkeja olivat Ashur ja Ninive. Vasta joskus puolitoista vuosituhatta eaa. näille kaksoisvirran pohjoisille alueille muodostui valtio, jota voidaan kutsua Assyriaksi.
Myös assyrian alueelta löydetyt kirjoitukset on kirjoitettu akkadiksi. Noin 900-luvulla eaa. Assyriassa alettiin käyttää omaa murretta, joka poikkesi hieman Babylonin ja muiden eteläisten alueiden kielestä.
Kulttuurihistorian kannalta merkittävin Assyrian kuningas oli Ashurbanipal (kuninkaana 668-627 eaa.). Hänen toimestaan rakennettiin Niniven kirjasto, johon koottiin suuret määrät nuolenpääkirjoituksia. Kirjaston jäänteet ovat olleet erinomainen tiedon lähde Mesopotamian historiasta kiinnostuneille.
Vuonna 331 eaa. Mesopotamia joutui osaksi Aleksanteri Suuren valtakuntaa. Aleksanterin kuoltua Babyloniassa valtaan nousi yksi hänen päälliköistään, Seleukos. Tästä alkanut seleukidien aika on Hammurabin suvun kauden ohella toinen Mesopotamian aikakausi, jolta on peräisin runsaasti tieteellistä materiaalia.
Johdonmukaisesti tämä lukujärjestelmä esiintyy kuitenkin vain matemaattisissa teksteissä. Muissa yhteyksissä käytettiin myös 10-kantaista järjestelmää. Itse asiassa 10-kantainen järjestelmä näkyy numeromerkeissäkin. Esimerkiksi lukua 25 tarkoittava merkki koostuu kahdesta kymmentä tarkoittavasta ja viidestä ykköstä tarkoittavasta merkistä.
Nuolenpääkirjoituksessa käytettyjä numeromerkkejä.
60-kantaisessa paikkamerkinnässä lukujen
esittämiseen tarvitaan 60 erilaista merkkiä,
joista yksi vastaa tyhjää paikkaa.
Nuolenpääkirjoituksessa merkit muodostettiin
kymmenjärjestelmän mukaisesti: kymmeniä ja
ykkösiä merkittiin erilaisilla nuolilla.
Tyhjä paikka voitiin osoittaa pienellä
tyhjällä välillä. Yksityiskohdat tosin vaihtelivat ajan mittaan.
Kantaluvun valinnan syyt eivät ole tiedossa. Mahdollinen selitys on se, että 60 on jaollinen varsin monilla luvuilla (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30). Tässä suhteessa nykyisin käyttämämme kantaluku 10 ei ole kovin hyvä; 12 olisi parempi valinta. Kovin suuren kantaluvun haittana on yhteenlasku- ja kertotaulujen mutkistuminen. Tietokoneiden käyttämän binäärijärjestelmän kertotaulussa on vain neljä alkiota. Kymmenjärjestelmässä niitä on jo sata, ja koulusta muistamme, että kertotaulun opetteluun tuhraantui jonkin verran aikaa. Se oli kuitenkin lastenleikkiä verrattuna babylonialaiseen kertotauluun, johon kuului 3600 alkiota. (Toki kertolaskun symmetrisyyden vuoksi ulkoa tarvitsee oppia vain hieman yli puolet koko kertotaulusta.)
Nuolenpääluvuilla oli ominaisuus, joka on kantalukua paljon tärkeämpi. Merkintätapa oli nykyisentapainen paikkamerkintä, eli numeromerkin paikasta riippui, mitä lukua se edusti. Tämä oli paljon kehittyneempi merkintätapa kuin kreikkalaisten ja roomalaisten myöhemmin käyttämät kömpelöt esitykset.
Alunperin eri yksiköitä merkittiin eri tavoin. Tällaisessa merkintätavassa numeromerkkien järjestyksellä ei ole väliä. Kun merkit kuitenkin kirjoitettiin alenevaan järjestykseen, ei ollut tarpeen osoittaa erikseen esimerkiksi merkin koolla, onko kyse ykkösistä vai kuusistakymmenistä. Niin eri yksiköitä osoittavien merkkien käyttö jäi vähitellen pois.
Lukujen merkintätapa ulottui myös ykköstä pienempiin lukuihin. Vaikka kantaluku onkin 60, merkintätapa vastaa nykyistä desimaaliesitystä. Murtoluvuilla laskettaessa vaatii hieman miettimistä ennen kuin selviää, että 1/4+1/5=9/20. Vastaavien desimaalilukujen yhteenlasku sen sijaan käy käden käänteessä: 0,25+0,20=0,45. Paikkamerkintää käytettäessä ykköstä pienemmillä yksiköillä on yhtä helppo laskea kuin ykköstä suuremmillakin.
Lukujärjestelmän ainoa puute oli, ettei nollalle ollut omaa merkkiä. Ykkösen merkki saattoi siten tarkoittaa useita eri lukuja, kuten 1, 60, 3600 tai jopa 1/60. Lukujen todelliset arvot oli pääteltävä asiayhteydestä. Joissakin tapauksissa kahden numeromerkin välistä puuttuva yksikkö osoitettiin tavallista pitemmällä välillä. Myöhemmin puuttuvalle yksikölle alettiin käyttää omaa merkkiä. Luvun lopussa olevia nollia ei kuitenkaan merkitty mitenkään. Nuolenpääluvuilla laskeminen oli siten samanlaista kuin laskutikun käyttö, jossa luvun oikea suuruusluokka on aina pääteltävä erikseen. Varsinaista nollan merkkiä alettiin käyttää johdonmukaisesti vasta Intiassa paljon myöhemmin.
Ajanlasku voidaan perustaa mille tahansa säännöllisesti toistuvalle ilmiölle. Vuodenaikojen vaihtelun seuraamiseen Aurinko olisi tietenkin luonnollisin vertailukohta. Auringon vuotuinen liike taivaalla on kuitenkin hidasta ja vaikeasti seurattavaa. Ellei ilmakehää olisi, taivas olisi päivälläkin musta ja voisimme nähdä, missä tähdistössä Aurinko milloinkin on. Koska emme kuitenkaan näe tähtiä päivällä, vaatii Auringon tähtien suhteen tapahtuvan liikkeen selvittäminen jonkinlaista maailmankaikkeuden mallia.
Myös tähtitaivaan asento muuttuu vuoden mittaan, joten sitäkin voisi käyttää kalenterin pohjana. Senkin muutokset päivästä toiseen ovat kovin vähäisiä.
Aivan käytännön syistä onkin luontevinta rakentaa kalenteri Kuun liikkeiden mukaan. Se löytyy helposti taivaalta, mutta on kuitenkin riittävän himmeä, jotta voimme havaita sen paikan tähtien suhteen. Se liikkuu nopeasti, joten katsomalla, minkä tähtien suunnassa se on, voimme päätellä päivämäärän. Ei siksi ole mitenkään ihmeellistä, että ensimmäiset kalenterit olivat nimenomaan kuukalentereita. Ja käytämmehän mekin yhä kuukausia kalenterissamme, vaikka niillä ei enää olekaan mitään tekemistä taivaalla näkyvän Kuun kanssa.
Noilta ajoilta on peräisin Kuun liikkeisiin liittyvä käsite Kuun kartano (tai Kuun huone). Suomenkielistä nimitystä ei paljoakaan käytetä, mutta sen englanninkielinen vastine lunar mansion tarkoittaa juuri Kuun kartanoa. Se on taivaan alue, jossa Kuu viipyy yhden päivän. Koska Kuun kiertoaika tähtitaivaan suhteen eli sideerinen kuukausi on runsaat 27 päivää, näitä huoneita oli joko 27 tai 28 kappaletta. Vastaava käsite tunnettiin myös muissa kulttuureissa, Intiassa nimellä nakshatra ja Kiinassa nimellä xiu. On vaikea sanoa, oliko näillä yhteinen alkuperä, vai keksivätkö eri kulttuurit tällaisen taivaan jaon toisistaan riippumatta. Myöhemmin arabialaiset käyttivät näistä Kuun kartanoista nimitystä manzil, joka tarkoittaa pysähdys- tai leiripaikkaa tai taloa.
Kuun vaiheiden mukaan määräytyvän synodisen kuukauden pituus on runsaat 29 ja puoli vuorokautta. Kaksitoista tällaista kuukautta on 354 vuorokautta 8 tuntia 49 minuuttia. Vuodenaikojen vaihteluun liittyvän trooppisen vuoden pituus puolestaan on 365 vuorokautta 5 tuntia 49 minuuttia. Se on siis melkein 11 vuorokautta pitempi kuin 12 kuukautta.
Kolmessa vuodessa virhettä kertyy jo hieman yli kuukausi. Tilanne voidaan korjata lisäämällä joka kolmanteen vuoteen kolmastoista kuukausi. Tämän interkalaation avulla kalenteri saadaan pysymään synkronissa vuodenaikojen kanssa. Joka kolmas vuosi tehtävä interkalaatio ei kuitenkaan vielä tee kalenterista kovin tarkkaa. Tarvitaan siis vielä pitempi aikaväli, johon sijoitellaan sopiva määrä 12- ja 13-kuukautisia vuosia. Koska kuukauden ja vuoden pituudet ovat yhteismitattomia, jäljelle jää kuitenkin aina pieni virhe käytetäänpä miten pitkää jaksoa tahansa. Täsmällinen kalenteri vaatii havaintoja pitkältä ajalta ja jonkinlaista matematiikan taitoa. Kun muistiinpanoja on riittävästi, niistä voidaan ruveta etsimään tarvittavia jaksollisuuksia.
Niin kauan kuin riittävää tietoa ei ole vielä kertynyt, täsmällinen kalenteri on mahdottomuus. Babylonialaisten kirjoituksissa esiintyvien päivämäärien perusteella voidaan päätellä, että vanhassa kalenterissa oli 12 kuukautta, ja ylimääräinen kuukausi lisättiin tarpeen mukaan yleensä vuoden loppuun. Joskus hätätapauksissa ylimääräinen kuukausi voitiin sijoittaa muuallekin. Aluksi lisäkuukauden tarve lienee perustunut hyvin käytännöllisiin havaintoihin vuodenaikojen edistymisestä, kuten viljan kypsymisestä. On säilynyt kirjoitus, jossa lukee:
Näin sanoo Hammurabi: Koska vuosi ei ole hyvä, seuraavaa kuukautta pitää kutsua toiseksi Ululuksi. Sen sijaan että kymmennykset toimitettaisiin Babyloniin Tishritu-kuun 25:ntenä, toimitettakoon ne toisen Ululu-kuun 25:ntenä.
Sadon viivästyessä oli siis helpompi lisätä kalenteriin ylimääräinen kuukausi kuin lykätä veronmaksua seuraavaan kuukauteen. Tässäpä vihje meikäläiselle verovirastolle.
Kuukauden alku oli määritettävä havaitsemalla, milloin kuunsirppi ilmestyi ensimmäisen kerran näkyviin uudenkuun jälkeen. Ennen pitkää nämä havaitsijat varmasti huomasivat säännöllisyyden, millä Kuu liikkuu tähtien suhteen ja miten esimerkiksi täydenkuun paikka näyttää vuoden mittaan tekevän täyden kierroksen tähtitaivaan suhteen. Näin interkalaatiot opittiin ajoittamaan säännöllisesti toistuvien tähtitaivaan ilmiöiden avulla.
Vuodenaikojen edistymistä voidaan seurata esimerkiksi tähtien heliakkisen nousun avulla.
Asiaa mutkistaa vielä maapallon pyörimisakselin suunnan hidas muuttuminen eli prekessio. Sen seurauksena vuodenaikojen mukainen trooppinen vuosi on lyhempi kuin aika, jossa Aurinko tekee kierroksen tähtien suhteen. Tämän vuoksi heliakkisen nousun hetki siirtyy joka vuosi hieman myöhemmäksi. Eroa kertyy kokonainen päivä noin 70 vuodessa.
Noin vuodelta 700 eaa. peräisin olevat mul apin -taulut ovat vanhin säilynyt tähtitieteellinen käsikirja. Tauluihin sisältyy mm. tähtiluettelo, jossa ilmoitetaan tähtien heliakkisen nousun päivämäärät. Tauluissa luetellaan myös Kuun radalla olevat tähdet ja tähdistöt, kuvataan vuodenaikoja ja yön pituutta. Niissä selostetaan myös, miten tähtitieteellisten havaintojen avulla voidaan päätellä, onko vuoteen tarpeen lisätä kolmastoista kuukausi.
Kun kalenterin perustana alettiin käyttää taivaallisia tapahtumia, huomattiin tiettyjä jaksollisuuksia. Esimerkiksi aika hyvä yhteys vuodenaikojen ja kuukausien välille löytyy 19 vuoden jaksosta. Voimme laskea, että 19 vuotta on miltei yhtä pitkä aika kuin 235 kuukautta; eroa on vain kaksi tuntia. Tämä tarkoittaa, että vasta noin kahdessa vuosisadassa virhe kasvaa vuorokaudeksi. Jotta saisimme kuukausien määrän täsmäämään, meidän on sijoiteltava tähän 19 vuoden jaksoon seitsemän sellaista vuotta, joissa on 13 kuukautta.
Tämä 19 vuoden jakso tunnetaan Metonin jaksona ateenalaisen tähtitieteilijän mukaan. Jakso ei kuitenkaan ole Metonin keksimä. Meton oli ehkä kuullut siitä babylonialaisilta, jotka käyttivät sitä kalenterissaan vuodesta 383 eaa. lähtien.
Taivaankappaleet liitettiin jumalolentoihin. Kiinnostavimpia olivat Kuu ja planeetat, koska niiden mutkikkaissa liikkeissä oli helpompi nähdä jumalien mielentilan vaihteluita kuin tylsän säännöllisesti käyttäytyvissä tähdissä ja Auringossa. Näissä yhteyksissä näkyy selvä magian vastaavuusperiaate. Esimerkiksi verestä muistuttava punainen Mars omistettiin Nergalille, tuhon ja hävityksen jumalalle. Yhteys maanpäällisiin tapahtumiin saattoi olla hyvin suoraviivainen: "Kun Mars on himmeä, se tuo onnea, kun kirkas, epäonnea."
Astrologia ei ollut mikään itsenäinen oppi, vaan muiden ennusmerkkien tulkinnan tavoin osa uskontoa. Nykyisin aniharva tuntee edes nimeltä Mardukin tai Nergalin, saati sitten uskoo niihin. Silti usko näiden assyrialaisten jumalien vaikutusvaltaan elää yhä sitkeänä astrologian muodossa.
Mesopotamian kulttuureissa astrologiaa ja varsinaista tähtitiedettä ei vielä voi erottaa toisistaan eikä myöskään uskonnosta. Astrologian tähtitiedettä edistävää vaikutusta ei kuitenkaan pidä yliarvioida. Sen ainoa anti oli planeettahavaintojen yleistyminen. Aikaisemmin kalenteria varten oli tarvittu tietoa vain Kuun ja Auringon liikkeistä. Siinä sivussa muistiin oli merkitty myös havaintoja Venuksesta. Systemaattiset havainnot muista planeetoista alkoivat vasta, kun niitä alettiin tarvita valtakunnan kohtalon ennustamiseen. Näin antiikin tähtitieteilijöillä oli käytettävissään havaintoja pitemmältä aikaväliltä, ja planeettojen radat pystyttiin laskemaan ehkä hieman tarkemmin.
Kuun radan nouseva solmu on piste, jossa Kuu siirtyy Maan ratatason eteläpuolelta pohjoispuolelle. Auringon vetovoiman ja Maan litistyneisyyden aiheuttamien häiriöiden vuoksi nousevan solmun suunta muuttuu. Kun se on Maasta katsottuna tehnyt yhden täyden kierroksen, Auringon, Maan ja Kuun keskinäinen asema toistuu taas samanlaisena; samoin pimennykset toistuvat taas samassa järjestyksessä. Tämän jakson pituus on noin 223 synodista kuukautta eli 18 vuotta ja 11 1/3 päivää, jossa ajassa Kuu on kulkenut nousevan solmun kautta 242 kertaa.
Saros-kaanon on lähes sata vuotta käsittävä luettelo, jossa kunkin vuoden kohdalla on mainittu kaksi kuukautta. Niiden väli on yleensä kuusi kuukautta, joskus vain viisi. Poikkeusten yhteydessä on kuitenkin merkintä, joka tarkoittaa interkalaatiota. Silloin siis sama kuukausi on toistunut kahdesti. Kaanonin jokainen pystysarake käsittää 38 riviä ja ulottuu 223 kuukauden eli runsaan 18 vuoden ajalle.
Tällaisen taulukon avulla pystytään ennustamaan ne kuukaudet, jolloin kuunpimennys on ylipäänsä mahdollinen. Taustalla ei kuitenkaan ole mitään teoriaa taivaankappaleiden radoista, vaan pelkkä jaksollisuuksien etsiminen havainnoista. Myöhemmin kiinnostus ulottui myös planeettoihin, ja niiden liikkeistä alettiin etsiä samanlaisia säännöllisyyksiä. Tällaista numeerista työtä helpotti babylonialaisten kehittynyt lukujärjestelmä.
Nimi saros on oikeastaan virheellinen, sillä alunperin se ei ole tarkoittanut pimennysjaksoa. Sana tulee nimittäin sumerinkielisestä sanasta sár, joka tarkoittaa mm. lukua 3600. Antiikin aikaiset historioitsijat tunsivatkin saroksen vain 3600 vuoden jaksona. Tämä jakso on lukujärjestelmän kantaluvun 60 neliö; se on siten samanlainen käsite kuin vuosisata nykyisessä 10-järjestelmässä. Suda Lexicon, 1000-luvulla ilmestynyt ensimmäinen aakkosellisesti järjestetty ensyklopedia, ilmoitti Saros-jakson pituudeksi 222 kuukautta, mutta ei maininnut sen yhteyttä pimennyksiin.
Roomalainen ensyklopedisti Plinius puolestaan oli maininnut pimennysjakson, joka oli suunnilleen samanmittainen; tosin käsikirjoituksen eri versioissa esiintyi erilaisia lukuja. Tämän yhtäläisyyden perusteella Edmond Halley esitti 1691, että Sudan jaksossa on kirjoitusvirhe ja että se itse asiassa tarkoitti juuri 223 kuukauden pimennysjaksoa. Vaikka Halleyn teoria saikin vastaansa ankaraa kritiikkiä, pimennysjakson virheellinen saros-nimi on jäänyt lähtemättömästi tähtitieteeseen.
[kuva] Kaldealaisten savitaulujen palasia. Teksti kuvaa vuonna 1062 eaa. tapahtunutta auringonpimennystä.
Näiden taulujen yksi merkittävä piirre on jokseenkin täydellinen geometrisen ajattelun puute, joka näkyy jaksollisesti muuttuvien suureiden käsittelyssä. Tarkastellaan esimerkkinä vaikkapa Jupiterin oppositioita, siis hetkiä, jolloin se on kirkkaimmillaan juuri vastakkaisella puolella maapalloa kuin Aurinko. Tämän opposition suunta, tarkemmin sanottuna ekliptikaalinen pituus, kasvaa, mutta ei tasaisesti. Nykyaikainen havaitsija näkisi välien noudattavan suunnilleen sinikäyrää. Tällainen jatkuvasti muuttuvan funktion käsite oli kuitenkin vieras babylonialaisille, ja he turvautuivat menetelmiin, joita voisi pitää yksinkertaisina numeerisina approksimaatioina. Edistyksellisen numeroiden merkintätavan ansiosta babylonialaiset pystyivät ratkaisemaan jo kohtalaisen mutkikkaita laskutehtäviä, kuten toisen asteen yhtälöitä. Matematiikka oli nimenomaan numeerista algebraa.
Taivaan ilmiöihin liittyy monia jatkuvasti muuttuvia suureita. Jos suureen vaihtelu noudattaa kuvan sinikäyrää (sininen viiva), sitä voidaan kuvata porrasfunktiolla (vihreä viiva) tai tarkemmin siksak-funktiolla (punainen viiva).
Ensimmäinen menetelmä oli porrasfunktioiden käyttö. Koska esimerkkimme pituusasteen kasvu vaihtelee kahden rajan välillä, sille voidaan käyttää puolet ajasta pienempää ja loppuaikana suurempaa arvoa. Lopputulos on keskimäärin oikea, mutta yksittäisten tapahtumien pituuksissa esiintyy vaihtelevia virheitä.
Seuraavaksi kehittyneempi menetelmä on ns. lineaarinen interpolaatio, jossa jatkuvasti muuttuvaa suuretta arvioidaan suoranpätkillä. Jaksollista vaihtelua voidaan kuvata yksinkertaisimmin sahanterää muistuttavalla murtoviivalla. Myös tämä siksak-menetelmäksi kutsuttu keino esiintyy babylonialaisissa savitauluissa.
Babylonian tähtitieteen tärkein tehtävä oli kalenterin ylläpito, ja sitä varten oli pystyttävä ennustamaan Kuun liikkeet. Ainoa ongelma ei suinkaan ole kuukauden ja vuorokauden tai vuoden yhteismitattomuus. Kuun liike on varsin mutkikas laskettava monenlaisten häiriöiden vuoksi. Edellä mainittu ratatason kiertyminen on vain yksi niistä.
Kaldealaiset taulut ovat vanhin tunnettu algoritmi Kuun vaiheiden laskemiseksi. Menetelmän historia on hämärän peitossa. Yksi sekä Saros-jakson että kaldealaisten taulujen yhteydessä mainittu henkilö on Sipparin tähtitieteen koulun johtaja Kidinnu, jonka roomalaiset historioitsijat tuntevat nimellä Cidenas. Kidinnu lienee elänyt 300-luvulla eaa. Häntä pidetään myös siksak-menetelmän kehittäjänä.
Joskus esiintyvät väitteet babylonialaisten kalenterin suurenmoisesta tarkkuudesta johtuvat juuri siitä, että pitkän ajan kuluessa niiden ennusteet ovat keskimäärin kohtuullisen tarkkoja. Esimerkiksi Kidinnun johtama arvo synodisen kuukauden keskipituudelle poikkeaa oikeasta vain vajaan sekunnin. Yksittäisten tapahtumien kohdalla virheet voivat kuitenkin olla huomattavia. Tilanne on tässä vähän sama kuin tilastossa, jonka mukaan perheessä on keskimäärin 2,3 lasta. Tämä voi olla keskimäärin hyvin tarkka arvo, mutta harvassapa perheessä on tasan 2,3 lasta.
Allen, Richard Hinckley: Star-Names and Their Meanings, G.E. Stechert 1899; Dover 1963, nimellä Star Names, Their Lore and Meaning.
Kalaja, Pentti: "Tähtien nimet", kirjassa Tähtitieteen harrastajan käsikirja 2, Ursa 1983.
Kugler, F.X.: Sternkunde und Sterndienst in Babel, Münster 1909.
Mattila, Raija (toim.): Nineveh 612 BC - Ninive 612 eKr., Helsinki University Press 1995.
Neugebauer, Otto: The Exact Sciences in Antiquity, Brown University Press 1957; Dover 1969.
Neugebauer, Otto: A History of Ancient Mathematical Astronomy I--III, Springer-Verlag 1975.
Pannekoek, Anton: A History of Astronomy, George Allen and Unwin Ltd. 1961; Dover 1989; alkuteos De Groei van ons Wereldbeeld, Wereld-Bibliotheek 1951.
Thurston, Hugh: Early Astronomy, Springer-Verlag 1994.